[蓝桥杯][算法训练VIP]ALGO-13 拦截导弹 动态规划 思路题解与C++示例代码

[蓝桥杯][算法训练VIP]ALGO-13 拦截导弹

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题目描述
某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹 拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的 导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。
输入
一行，为导弹依次飞来的高度
输出
两行，分别是最多能拦截的导弹数与要拦截所有导弹最少要配备的系统数
样例输入
389 207 155 300 299 170 158 65
样例输出
6
2

标签　
贪心 动态规划

思路与题解：

其实这道题相当于让你求最长的上升子序列和最长的下降的子序列
这是样例数据：389 207 155 300 299 170 158 65
第一次防空系统拦截的有 389 300 299 170 158 65
一共是6个导弹被拦截，还有两个没有被拦截的导弹是 207 155

最多能拦截的导弹的高度是不能超过上一次的高度，
所以容易能想到最多能拦截的导弹数量就是所给序列的最长递减子序列（并不是最长下降子序列）。
而要拦截所有导弹就是所给序列的最长上升子序列。

本质就是求最长的上升子序列和最长的递减的子序列

最长的上升子序列和最长的递减的子序列解释：

假如某序列完全递减，则最长上升子序列长度为1，即只有一个最长递减子序列。 
假如某序列完全递增，则最长上升子序列长度为n，即有n个最长递减子序列。（n为该序列长度） 

那么对于某序列有增有减，则该序列所形成的 严格单调递增序列 必然为其每个互相完全不相同单调递减序列的某一个元素共同构成，
即对于序列100 68 66 56 78 89 66 20 9，其 严格单调递增序列 为56 78 89。
显然56，78，89永远为三个不同的递减序列中的元素。

假如严格单调递增序列的元素不为不同的递减序列的元素。
即某个递减序列 贡献了多个元素为严格单调递增序列元素，那么显然这多个元素是单调递增的，与递减序列矛盾。即可证明。

参考:Code[VS]1044拦截导弹

动态规划：

它符合动态规划的特征。

下面定义：
已知序列D[N]
数组Maxhigh[i]表示以第i个数结尾的 "最长递减子序列”
数组Maxhigh2[i]**表示以第i个数结尾的 "最长上升子序列”

求最长递减子序列：

设 Maxhigh[i]表示从第一个数字开始算，以D[i]结尾的时候最长递减子序列长度，
状态转移方程：

Maxhigh[i] = max(Maxhigh[i], Maxhigh[j] + 1), 0 <= j < i < len且D[j] >= D[i];

求最长上升子序列：

设 Maxhigh2[i]表示从第一个数字开始算，以D[i]结尾的时候最长上升子序列长度，
状态转移方程：

Maxhigh2[i]=max(Maxhigh2[i],Maxhigh2[j]+1), 0 <= j < i < len且D[j] < D[i];$

复杂度：$O(n^2)$

注意：dp过程中并不是最终结果就是最优值，需要再dp过程中用ans来记录最优值。

C++示例代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
int main()
{
	int D[1010]; 
	int Maxhigh[1010],Maxhigh2[1010];
	int num,len=0;
	int ans=0,ans2=0;	

	while(cin>>num)
	{
		D[len]=num;
		len++;
		char ch= getchar();//读取下一个字符，为换行符，则break
		if(ch=='\n')
			break;
	}
	fill(Maxhigh,Maxhigh+len,1);
	fill(Maxhigh2,Maxhigh2+len,1);
	
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
		for(int j=0;j<i;j++)
		{
			if(D[i]<=D[j]){ //小于等于时更新最长非升子序列
//				printf("i=%d(%d<=%d)max(%d,%d)=%d ",i,D[i],D[j],max(Maxhigh[i],Maxhigh[j]+1),Maxhigh[i],Maxhigh[j]+1);   
				Maxhigh[i]=max(Maxhigh[i],Maxhigh[j]+1);  
			}
			else{ //大于时更新最长上升子序列
//				printf("i=%d(%d>%d)max2(%d,%d)=%d ",i,D[i],D[j],max(Maxhigh2[i],Maxhigh2[j]+1),Maxhigh2[i],Maxhigh2[j]+1);
				Maxhigh2[i]=max(Maxhigh2[i],Maxhigh2[j]+1);
			}
		}
//		cout<
		ans=max(ans,Maxhigh[i]); //找以哪个点为子序列结束点时序列长度最长        
		ans2=max(ans2,Maxhigh2[i]);
	}
//	for(int i=0;i
//		cout<
//	}
//	cout<
//	for(int i=0;i
//		cout<
//	}
//	cout<
	cout<<ans<<endl;
	cout<<ans2;
	
	return 0;
}