频谱细化-----CZT算法介绍及MATLAB实现

CZT变换

采用FFT算法可以很快算出全部N点DFT值，即Z变换$X\left(z\right)$在Z平面单位圆上的全部等间隔取样值。实际中，也许不需要计算整个单位圆上Z变换的取样，如对于窄带信号，只需要对信号所在的一段频带进行分析，这时希望频谱的采样集中在这一频带内，以获得较高的分辨率，而频带以外的部分可不考虑，或者对其他围线上的Z变换取样感兴趣，例如语音信号处理中，需要知道Z变换的极点所在频率，如极点位置离单位圆较远，则其单位圆上的频谱就很平滑，这时很难从中识别出极点所在的频率，如果采样不是沿单位圆而是沿一条接近这些极点的弧线进行，则在极点所在频率上的频谱将出现明显的尖峰，由此可较准确地测定极点频率。螺旋线采样是一种适合于这种需要的变换，且可以采用FFT来快速计算，这种变换也称作Chirp-z变换。
已知$x\left(n\right)$，$0\le n\le N-1$,是有限长序列，它的Z变换为：
$$X\left(z\right)=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)z^{-n}$$
为适应$z$可以沿$Z$平面更一般的路径取值，故沿Z平面上的一段螺线作等分角的抽样，$z$的这些抽样点$z_k$为：
$$z_k=A{W}^{-k},k=0,...,M-1$$
M为所要分析的复频谱的点数，即采样点的总数，不一定等于$N$。$A$和$W$都是任意复数，可表示为:
$$\{\begin{array}{c}A=A_0{e}^{j{\theta }_0}\\ W=W_0{e}^{-j{\varphi }_0}\end{array}$$
$$z_k=A_0{e}^{j{\theta }_0}{W}_0^{-k}{e}^{jk{\varphi }_0}=A_0{W}_0^{-k}{e}^{j\left({\theta }_0+k{\varphi }_0\right)}$$
因此有
$$z_0=A_0{e}^{j{\theta }_0}$$
$$z_1=A_0{W}_0^{-1}{e}^{j\left({\theta }_0+{\varphi }_0\right)}$$
$$z_k=A_0{W}_0^{-k}{e}^{j\left({\theta }_0+k{\varphi }_0\right)}$$
$$z_{M-1}=A_0{W}_0^{-\left(M-1\right)}{e}^{j\left[{\theta }_0+\left(M-1\right){\varphi }_0\right]}$$
(1)$A_0$表示起始采样点$z_0$的矢量半径长度，通常$A_0\le 1$；否则$z_0$将处于单位圆$\left|z\right|=1$的外部。
(2)${\theta }_0$表示起始采样点$z_0$的相角，它可以是正值或负值。
(3)${\varphi }_0$表示两相邻采样点之间的角度差。${\varphi }_0$为正时，表示$z{}_k$的路径沿逆时针旋转；${\varphi }_0$为负时，表示$z_k$的路径沿顺时针旋转。
(4)$W_0$的大小表示螺旋线的伸展率，$W_0<1$时，则随[k]的增加螺线外伸；$W_0>1$时，则随$k$的增加螺线内缩(反时针)；$W_0=1$时，表示是半径为$A_0$的一段圆弧。若又有$A_0=1$,则这段圆弧则是单位圆的一部分。
当$M=N$,$A=A_0{e}^{j{\theta }_0}=1$时，满足：$W=W_0\cdot e^{-j{\varphi }_0}=-j\frac{2\pi }{N}\left(W_0=1,{\varphi }_0=2\pi /N\right)$这一特殊情况时，各$z_k$就均匀等间隔地分布在单位圆上，这就是求序列的DFT。
$$\begin{array}{rl}& X\left(z_k\right)=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)z_k^{-n}\\ & \begin{array}{cc}& \begin{array}{cc}& =\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)\end{array}\end{array}{A}^{-n}{W}^{nk}\begin{array}{cc}& 0\le k\le M-1\end{array}\end{array}$$
$nk$用表达式来替换：$nk=\frac{1}{2}\left[n^2+k^2-{\left(k-n\right)}^2\right],n=0,1,...,N-1,k=0,1,...,M-1$
可得：
$$X\left(z_k\right)=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)A^{-n}{W}^{\frac{n^2}{2}}{W}^{-\frac{{\left(k-n\right)}^2}{2}}{W}^{\frac{k^2}{2}}=W^{\frac{k^2}{2}}\sum _{n=0}^{N-1}\left[x\left(n\right)A^{-n}{W}^{\frac{n^2}{2}}\right]W^{-\frac{{\left(k-n\right)}^2}{2}}$$
定义：
$$g\left(n\right)=x\left(n\right)A^{-n}{W}^{\frac{n^2}{2}},h\left(n\right)=W^{-\frac{n^2}{2}},0\le g\left(n\right)\le N-1,-\left(N-1\right)\le h\left(n\right)\le M-1$$
则：
$$g\left(k\right)\ast h\left(k\right)=\sum _{n=0}^{N-1}g\left(n\right)h\left(k-n\right)=\sum _{n=0}^{N-1}\left[x\left(n\right)A^{-n}{W}^{\frac{n^2}{2}}\right]W^{-\frac{{\left(k-n\right)}^2}{2}}$$
$$X\left(z_k\right)=W^{\frac{k^2}{w}}\cdot \left[g\left(k\right)\ast h\left(k\right)\right]$$
先进行一次加权$A^{-n}{W}^{n^2/2}$处理，然后通过一个单位脉冲响应为$h\left(n\right)=W^{-n^2/2}$的线性系统即求$g\left(n\right)$与$h\left(n\right)$的线性卷积；最后，对该系统的前M点输出再做一次加权，这样就得到了全部$M$点螺线采样值$X\left(z_n\right)\left(n=0,1,...,M-1\right)$。
由于系统的单位脉冲响应$h\left(n\right)=W^{-n^2/2}$可以想象为频率随时间[n]呈线性增长的复指数序列。在雷达系统中，这种信号称为线性调频信号，因此这里的变换称为线性调频Z变换。

具体过程

(1) 选择一个最小的整数$L$,使其满足$L\ge N+M-1$,同时满足$L=2^m$，以便采用基-2FFT算法。
(2) 将$g\left(n\right)=x\left(n\right)A^{-n}{W}^{n^2/2}$补上零值点，变为$L$点序列，因而有
$$g\left(n\right)=\{\begin{array}{cc}{A}^{-n}{W}^{\frac{n^2}{2}}x\left(n\right)& 0\le n\le N-1\\ 0& 0\le n\le L-1\end{array}$$
(3) 并利用FFT法求此序列的$L$点DFT：
$$\begin{array}{cc}G\left(r\right)=\sum _{n=0}^{N-1}g\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi }{L}rn}& 0\le r\le L-1\end{array}$$
(4) 形成$L$点序列$h\left(n\right)$，在$n=0$到$M-1$一段$W^{-\frac{n^2}{2}}$，$n=M$到$L-N$段取$h\left(n\right)$为任意值（一般为零），在$L=N+M-1$到$L-1$段取$h\left(n\right)$为$W^{-\frac{n^2}{2}}$的周期延拓序列$W^{-\frac{{\left(L-n\right)}^2}{2}}$，即有
$$h\left(n\right)=\{\begin{array}{cc}{W}^{-\frac{n^2}{2}}& 0\le n\le M-1\\ \begin{array}{c}0\\ W^{-\frac{{\left(L-n\right)}^2}{2}}\end{array}& \begin{array}{c}M\le n\le L-N\\ L-N+1\le n\le L-1\end{array}\end{array}$$
此$h\left(n\right)$实际上是序列$W^{-m^2/2}$以$L$为周期的周期延拓序列的主值序列
用FFT法求$h\left(n\right)$的$L$点DFT:
$$\begin{array}{cc}H\left(r\right)=\sum _{n=0}^{L-1}h\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi }{L}rn}& 0\le r\le L-1\end{array}$$
(5) 将$H\left(r\right)$和$G\left(r\right)$相乘，得$Q\left(r\right)=H\left(r\right)G\left(r\right)$，$Q\left(r\right)$为$L$点频域离散序列
(6) 用FFT法求$Q\left(r\right)$的$L$点IDFT，得$h\left(n\right)$和$g\left(n\right)$的圆周卷积：
$$h\left(n\right)g\left(n\right)=q\left(n\right)=\frac{1}{L}\sum _{r=0}^{L-1}H\left(r\right)G\left(r\right)e^{j\frac{2\pi }{L}rn}$$
式中，前$M$个值等于$h\left(n\right)$和$g\left(n\right)$的线性卷积结果$\left[h\left(n\right)\ast g\left(n\right)\right]$，$n\ge M$的值没有意义，不需要求。
(7) 最后求$X\left(z_k\right)$：
$$\begin{array}{cc}X\left(z_k\right)=W^{\frac{k^2}{2}}q\left(k\right)& 0\le k\le M-1\end{array}$$

关于该算法的实现，MATLAB有自带的CZT函数，具体用法为

y = czt(x,m,w,a)，其中x为输入信号，m为变换的长度，默认值为信号长度，w为螺旋轮廓点之间的比值，a为螺旋轮廓起点

该函数返回由x 沿由 w 和 a 定义的 z 平面上的螺旋轮廓的长度，其中z = a*w.^-(0:m-1)，使用默认值 m、w 和 a，czt 返回 x 在单位圆周围 m 个等距点处的 Z 变换，结果等效于由 fft(x) 给出的 x 的离散傅立叶变换 (DFT) .

下面给出一个简单的仿真实验，对比直接FFT与CZT之间的效果，细化频率75Hz~175Hz。

从图中可以看出，FFT的频率之间是由明显的间隔，在75Hz~175Hz之间，CZT的频率更加细化

显示100Hz~115Hz之间的结果可以看出，经过CZT之后有更高的频率分辨率，这也与上述的分析一致。
代码如下：

clear;
close all;
clc;
fs = 1000;    %采样频率
d = designfilt('lowpassfir','FilterOrder',30,'CutoffFrequency',125, ...
    'DesignMethod','window','Window',@rectwin,'SampleRate',fs);
h = tf(d);   %系统传递函数
m = 1024;    %变换点数
y = fft(h,m);  % 直接FFT结果
f1 = 75;   %细化起始频率
f2 = 175;  %细化结束频率
w = exp(-1j*2*pi*(f2-f1)/(m*fs));   %螺旋轮廓点之间的比值
a = exp(1j*2*pi*f1/fs);             %螺旋轮廓起点
z = czt(h,m,w,a);                   %CZT变换
fn = (0:m-1)'/m;
fy = fs*fn;                         %频率
fz = (f2-f1)*fn + f1;
figure(1);
plot(fy,abs(y),'r-*',fz,abs(z),'b')
xlim([50 200])
legend('FFT','CZT')
xlabel('Frequency (Hz)')
grid on;
figure(2);
plot(fy,abs(y),'r-*',fz,abs(z),'b')
xlim([100 115])
legend('FFT','CZT')
xlabel('Frequency (Hz)')
grid on;
figure(3);
plot(fy,abs(y),'r-*',fz,abs(z),'b-p')
xlim([100 115])
legend('FFT','CZT')
xlabel('Frequency (Hz)')
grid on;

参考文献
[1]王旭刚. 基于FMCW体制K波段测距雷达的研究与实现[D].南京航空航天大学,2012.
[2]Matlab CZT函数介绍