CF1925F/CF1924C Fractal Origami 题解

以下所有结论通过找规律获得，不会证明。

诈骗题。

发现每次 $M$ 和 $V$ 增加量是相同的，且是上一次增加量的 $\sqrt{2}$ 倍。

以下式子中 $q$ 定义为 $n-1$。

通过等比数列求和公式可以得到 $\frac{M}{V}=\frac{(\sqrt{2}{)}^{q+1}+(\sqrt{2}{)}^q-\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}{)}^{q+1}+(\sqrt{2}{)}^q-1}$

将上面式子写做 $\frac{x\sqrt{2}+y}{z\sqrt{2}+w}$ 的形式，其中 $x,y,z,w$ 可以直接算出来，对 $q$ 分奇偶讨论一下。

分母有理化，再把 $\sqrt{2}$ 提出来，可以得到题目最后要求我们输出的就是 $\frac{yz-xw}{2z^2-w^2}$，对分母那个玩意儿求一下逆元输出就可以了。

贴一下代码。

#include
using namespace std;
#define int long long
const int mod=999999893;
int t,n,x,y,z,w,B;
int KSM(int a,int b){
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
signed main(){
	cin>>t;
	while(t--){
		cin>>n;
		n--;
		if(n%2==0) x=(KSM(2,n/2)-1+mod)%mod,y=(KSM(2,n/2)-1+mod)%mod;
		else x=(KSM(2,(n-1)/2)-1+mod)%mod,y=(KSM(2,(n+1)/2)-1+mod)%mod;
		z=(x+1)%mod,w=y;
		B=(y*z%mod-x*w%mod+mod)%mod*KSM((z*z%mod*2%mod-w*w%mod+mod)%mod,mod-2)%mod;
		cout<<B<<endl;
	}
	return 0;
}