【三维重建】运动恢复结构SfM理解记录：初始化与参数估计

一、SfM的认识

1. 三维重建=图像序列+SfM+MVS+…
   图像序列：拍摄多视图照片集
   SfM：能求出每个图像的参数（包括内参和外参），还有稀疏三维结构
   MVS：是基于SfM的输出下，进行稠密化。
   还有后续的曲面重建等等。
   三维重建：综述 链接1，链接2；项目链接
   开源的sfm可以参考colmap，mvs可以参考openmvs，3D模型可视化可以用meshlab。
   整体论文阅读入门综述：《Multi-View Stereo: A Tutorial》
   三维重建，sfm、mvs等之间的关系图：
   

2. SfM，全称：structure from motion
   意思就是运动能够恢复结构，1985年由Hartley等人提出，能够从图像序列中恢复场景或对象的结构信息。以下针对可见光RGB相机。

3. 两种情况
   主要分为两种情况：a)相机运动、场景（物体）不动，b)相机不动、场景（物体）运动。前者效果会更好些，因为如果场景或物体是非刚性的情况下，自身运动会带来扭曲偏移等。例如，重建植物时，植物的叶子可能会抖动，非常不利于三维重建。

4. 现状
   目前，SfM已经应用很多，重建结果也不错。也有难点：细节（硬件是个主要因素；也看过一些关于细长枝条的重建，很强）、非刚性、运动状态、大场景。还有万物皆可深度学习的情况下，三维重建也可以用深度学习来实现。

5. 分类
   SfM的 分类：增量式（incremental/sequential）,全局式（global），混合式（hybrid）,层次式（hierarchical），基于语义的SfM(Semantic SfM)。

以下都是增量式SfM

二、SfM的初始化

1. 图像特征点的提取与匹配
   一般就是sift

2. 初始化图像对的选择
   一般选择具有最多匹配数目的图像对，而且这些匹配不能由单个单应矩阵很好地建模（主要是避免两张图像接近重合的情况，因为这样基线会很短，不利于三角化）。
   使用RANSAC以max(w, h) * 0.4%的离群值阈值找到每对匹配图像之间的单应性，存储与估计的单应性更接近的特征匹配的百分比。选择初始图像对作为对恢复的单应性具有最低百分比的图像对，但是具有至少100个匹配项。此钳位函数的效果是，重投影误差大于16.0像素的所有点将被作为异常值拒绝，而重投影误差小于4.0的所有点将被保留为内值，确切的阈值位于这两个值之间。

3. 使用五点法来估计这对相机的参数（外参）
   （为什么可以用五点法呢，不是还需要内参K吗？），这里所需要的内参K由图像自带的EXIF提供（包括焦距、像素、镜头型号等）,这些作为K的初始值。用五点法，可以估计出R和t。

4. 三角测量
   有了内参、外参，就可以将两幅图像中可见的轨迹（也就是匹配点）进行。

5. 捆绑调整
   内参是粗糙，五点法的结果也不一定好。就需要进行两帧捆绑调整。在每次运行优化后，会检测包含至少一个具有较高重投影误差的关键点的离群点轨迹，并将这些轨迹从优化中删除。其中，离群点阈值：计算该图像的重投影误差的第80个百分位数，并使用$min(max((2.4D_{80},4.0),16.0)$ 作为离群值阈值。在拒绝异常值之后，重新运行优化，直到没有检测到更多的异常值。

6. （优化中还有很多细节，可以参见文献[2]）

三、SfM的实现

上述中，没提到图像的畸变；这里会引入。文献[3]提到，有相关商用软件（PTLens）可以去畸变，利用EXIF的相机和镜头信息，如果有图像是无效去畸变，则提剔除该图像。也有文献写到，把畸变纳入SfM中，如文献[2]。
以下内容参见[2][4]。

1、投影变换矩阵

K里面5个参数，R里面3个，T也是3个。所以一共需要估计11个参数。其中，$s$是skew的意思，一般为0；并且假设$f_x=f_y$(因为像素物理尺寸一般是正方形的，例如$3.0\mu m\times 3.0\mu m$), $(c_x,c_y)$是图像中心（根据像素个数就能算出来），所以需要估计的参数变为了7个。当把径向畸变考虑进来时，引入2个系数${\kappa }_1,{\kappa }_2$。最终，需要估计的参数是9个。
旋转矩阵，可以用旋转向量表示。由旋转向量变换到旋转矩阵R，可由罗德里格斯公式表示

向量的反对称形式：

$\Theta =[\omega ,c,f,{\kappa }_1,{\kappa }_2]$，其中$c$就是平移向量，只不过不同文献有不同写法，这里面把它看作了相机光心在世界坐标系的坐标(coordinate)，就简写为了$c$

需要估计的参数，都已经列出来了。

2、投影过程

1. track说明
   
   这是论文中对tracks的说明：就是tracks是个集合；track是其中一个元素，里面放着一个三维点与不同图像上对应的2D投影点的关系。
   关于轨迹（迹）track的个人理解，一个三维点，可能会同时被多张图像所拍到。下面是一条track的示意图，可以理解为一个二维数组。track就是一个3D点在不同图像中对应的特征点所连成的一条链子吧。
   
2. 参数说明
   ${\Theta }_i$表示某张图像（相机）的参数（包含内外参）；
   $X_j$表示m条tracks中第j条track在 ${\Theta }_i$下的3D点坐标；
   $P(\Theta ,X)$表示一个投影过程；
   $q_{ij}$表示3D点$X_j$在图像${\Theta }_i$中的像素点；理论上3D点会完美投影到像素点，但是噪声、误差等因素导致不可能出现。
3. 公式推导
   懒得打公式了，直接截图了，公式推导可以参见文献Modeling the World from Internet Photo Collections。不排除有一些细节，我没展示出来（狗头）
   
   第三条公式的$g_{rd}(P_0)$表示畸变方程。由下面公式描述该过程：
   To map a projected 2D point $p=(p_x,p_y)$ to a distorted point $p^{{}^{\prime }}=(x^{{}^{\prime }},y^{{}^{\prime }})$, we use the formula: （把一个图像的点投影到畸变点，用下面的公式）
   
   一般${\kappa }_1,{\kappa }_2$会初始化为0，为防止过大，还会在优化函数（后面会讲到）中加入一项$\lambda ({\kappa }_1^2+{\kappa }_2^2)$，$\lambda$取10.0。
   至此，就能把3D点与图像上的2D联系起来。

3、参数初始估计

1. 直接线性变换DLT
   是利用3D-2D点（至少6组），可以估计外部参数以及一个上三角矩阵K，这些参数用于最小化重投影误差的优化函数中的初始值。
2. 问题：此时K有两个初始值？
   该怎么抉择？内参主要是$f$。
   对于直接线性变换DLT返回的内参$K_1$的$f_1=(K_{11}+K_{22})/2$。
   对于图像自带EXIF的$f_2$，当满足$0.7f_1<f_2<1.4f_1$时，就用$f_2$，否则就用$f_1$。
   当使用$f_2$时，需要在优化函数中添加一项$\gamma (f-f_2{)}^2$，$\gamma$取0.001，目的是让结果接近$f_2$。

4、最小化重投影误差

就是要最小化上面的函数，其中${\omega }_{ij}$表示有这个三维点和该帧图像二维点对应时（也就是说这帧图像看到了这个3D点），它就是1，否则就为0。
具体的最小化投影误差过程，网上有一些介绍，就不展开了。
至此，完结！

注意

该博文，并没有详尽描述每一个实现步骤的细节，因为在具体实现中，还有很多考虑的因素，上述的过程是在理想化前提下进行的。有兴趣深入了解的，一定要去看原文献，收益良多。而且，下面的文献都比较老了，现在已经很多优化了，要紧跟潮流呀。

参考文献

[1] Noah, Snavely, Steven, et al. Photo tourism: exploring photo collections in 3D[J]. Acm Transactions on Graphics, 2006.
[2] Snavely N , Seitz S M , Szeliski R . Modeling the World from Internet Photo Collections[J]. International Journal of Computer Vision, 2008, 80(2):189-210.
[3] Goesele M , Snavely N , Curless B , et al. Multi-View Stereo for Community Photo Collections[C]// Computer Vision, 2007. ICCV 2007. IEEE 11th International Conference on. IEEE, 2007.
[4] Furukawa Y , C Hernández. Multi-View Stereo: A Tutorial[M]. Now Publishers Inc. 2015.