常微分方程的解题思路

通解:独立常数的个数等于微分方程的阶数,独立常数的个数实际上就是 c 1 , c 2 , . . . , c n c_1,c_2,...,c_n c1,c2,...,cn是数目

所以补 C C C也是关键的一步,而且未必是 + C +C +C,也可以是 + ln ⁡ C +\ln C +lnC之类的,如下:

ln ⁡ ∣ y ∣ = ln ⁡ ∣ x ∣ − x + C ↔ ln ⁡ ∣ y ∣ = ln ⁡ ∣ x ∣ − x + ln ⁡ C \ln|y|=\ln|x|-x+C\leftrightarrow \ln|y|=\ln|x|-x+\ln C lny=lnxx+Clny=lnxx+lnC

显然后者在处理时候方便,而且前者很可能化简到 y = e C x e − x y=e^Cxe^{-x} y=eCxex就停止了,然而这间接限制了 x x x y y y同号,是一个隐藏的错误

另一方面当 y = 0 y=0 y=0的情况也得考虑,此时带入上式依旧成立

C C C时要注明 C C C的范围,如: C C C是任意常数

一阶微分方程

显然,一阶微分方程的通解就只有一个 C C C

变量可分离型

处理方法是放到等号两侧积回去,积回去的解有显式和隐式两种

d y d x = f ( x ) g ( y ) → ∫ d y g ( y ) = ∫ f ( x ) d x \frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\to \int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx dxdy=f(x)g(y)g(y)dy=f(x)dx

g ( y ) g(y) g(y)处于分母可能会丢失 g ( y ) = 0 g(y)=0 g(y)=0的一个解。

可化为变量可分离型

对于 d y d x = f ( a x + b y + c ) \frac{dy}{dx}=f(ax+by+c) dxdy=f(ax+by+c)的形式,使用换元法,令 u = a x + b y + c u=ax+by+c u=ax+by+c

u = a x + b y + c u=ax+by+c u=ax+by+c两侧求导可得 d u d x = a + b d y d x \frac{du}{dx}=a+b\frac {dy}{dx} dxdu=a+bdxdy,因为 d y d x = f ( u ) \frac{dy}{dx}=f(u) dxdy=f(u),所以这个式子可以写为 d u d x = a + b f ( u ) \frac{du}{dx}=a+bf(u) dxdu=a+bf(u),因此变成了 u u u x x x的微分方程

d y d x = f ( y x ) \frac{dy}{dx}=f(\frac yx) dxdy=f(xy)则可得到 d u φ ( u ) − u = d x x \frac{du}{\varphi(u)-u}=\frac{dx}{x} φ(u)udu=xdx

注意 u u u是关于 x x x的函数,因此也要参与到对 x x x的求导中来

一阶线性微分方程

我的另一篇博文:一阶线性微分方程计算公式推导

伯努利方程

形式是 y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y n y'+p(x)y=q(x)y^n y+p(x)y=q(x)yn

z = y 1 − n z=y^{1-n} z=y1n,最终处理式子如下:

1 1 − n ⋅ d z d x + p ( x ) z = q ( x ) \frac1{1-n}·\frac{dz}{dx}+p(x)z=q(x) 1n1dxdz+p(x)z=q(x)

二阶可降阶微分方程

主要是两种类型 y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y''=f(x,y') y′′=f(x,y) y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y''=f(y,y') y′′=f(y,y)

二阶先看有无 y y y,无 y y y考虑 y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y''=f(x,y') y′′=f(x,y)型,无 x x x考虑 y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y''=f(y,y') y′′=f(y,y)型。都有则按后面高阶线性微分方程的方法处理

y’'=f(x)型

积分每求一次就得加一个 C C C

例如 y ′ ′ = x 2 → y ′ = x 3 3 + C 1 → y = 1 12 x 4 + C 1 x + C 2 y''=x^2\to y'=\frac{x^3}3+C_1\to y = \frac{1}{12}x^4+C_1x+C_2 y′′=x2y=3x3+C1y=121x4+C1x+C2

y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y''=f(x,y') y′′=f(x,y)

换元后比一阶多了一步积分

y ′ = p ( x ) y'=p(x) y=p(x) y ′ ′ = p ′ ( x ) y''=p'(x) y′′=p(x),那么原式化为了 p ′ = f ( x , p ) p'=f(x,p) p=f(x,p),这就是上面的一阶微分方程,求出 p p p x x x的关系后由 y ′ = p y'=p y=p积分得到。

若求的 y ′ = p = φ ( x , c 1 ) y'=p=\varphi(x,c_1) y=p=φ(x,c1)则原方程通解为 y = ∫ φ ( x , c 1 ) d x + c 2 y=\int \varphi(x,c_1)dx+c_2 y=φ(x,c1)dx+c2

y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y''=f(y,y') y′′=f(y,y)

y ′ = p ( y ) y'=p(y) y=p(y) y ′ ′ = p ′ ( y ) ⋅ y ′ y''=p'(y)·y' y′′=p(y)y,这里要强调的是 y y y x x x的函数,所以这里按复合函数求导处理,由于 y ′ = p ( y ) y'=p(y) y=p(y)故原式可以这样写: y ′ ′ = p ′ ( y ) ⋅ y ′ = p ′ ( y ) ⋅ p ( y ) y''=p'(y)·y'=p'(y)·p(y) y′′=p(y)y=p(y)p(y),联系最初的式子可得 p ′ ⋅ p = f ( y , p ) p'·p=f(y,p) pp=f(y,p),这又是一个一阶微分方程,

p ′ = d p d y p'=\frac{dp}{dy} p=dydp

高阶线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程的解

这里很多人的博客都提到看特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0的特征根,但是都没说 r r r到底是什么。

实际上特征方程中的 r r r需要设解的形式为 y = e r x y=e^{r x} y=erx,试带入原方程得出 ( r 2 + p r + q ) e r x = 0 (r^2+pr+q)e^{r x}=0 (r2+pr+q)erx=0,即需要判别特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0的特征根。

注:复根的计算是 x 1 , 2 = − b ± i 4 a c − b 2 2 a x_{1,2}=\frac {-b±i \sqrt{4ac-b^2}}{2a} x1,2=2ab±i4acb2

知乎 - 常系数二阶线性齐次微分方程的求解

常微分方程的解题思路_第1张图片
图源自B站up:请叫我小陈老师

二阶常系数非齐次线性微分方程的解

看我的另外一篇文章:二阶常系数非齐次线性微分方程的解

视频讲解可以看源自B站up:请叫我小陈老师的二阶常系数非齐次线性微分方程(后面的图截取自视频)
常微分方程的解题思路_第2张图片
自由项为 P m ( x ) e a x P_m(x)e^{ax} Pm(x)eax大致过程:

  1. y y y y ′ y' y y ′ ′ y'' y′′这种用 0 0 0 r r r r 2 r^2 r2换一下,然后求特征根。
  2. 看右侧的自由项的 e λ x e^{\lambda x} eλx部分的 λ \lambda λ是多少(然后发现 λ \lambda λ等于 k k k个特征根, k k k可能是 0 、 1 、 2 0、1、2 012
  3. 然后根据原式 P m ( x ) P_m(x) Pm(x)是几次来定 Q m ( x ) Q_m(x) Qm(x),例如三次就写 a x 2 + b x + c ax^2+bx+c ax2+bx+c

如果自由项为 e a x [ P m ( x ) cos ⁡ β x + P n ( x ) sin ⁡ β x ] e^{ax}[P_m(x)\cos \beta x + P_n(x)\sin \beta x] eax[Pm(x)cosβx+Pn(x)sinβx]则处理略有不同:

n n n

30J.L13.9

直接背过吧。主要思路就是根据特解在高阶的解的四种情况里代,寻找对应的情况

其他技法/提示/题目

自变量未必是 x x x

30J.L13.5 伯努利方程

对式子 y d x = ( 1 + x ln ⁡ y ) x d y ydx=(1+x\ln y)xdy ydx=(1+xlny)xdy的化简,其自变量实际上是 y y y,如果按惯性思维根本化不出熟悉的形式。最终可以变形为 d x d y − 1 y x = ln ⁡ y y x 2 \frac{dx}{dy}-\frac 1y x=\frac{\ln y}y x^2 dydxy1x=ylnyx2,符合伯努利方程的 y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y n y'+p(x)y=q(x)y^n y+p(x)y=q(x)yn的形式

如果实在不直观,可以先写出相反形式的伯努利方程范式,即 x ′ + p ( y ) x = q ( y ) x n x'+p(y)x=q(y)x^n x+p(y)x=q(y)xn

本质上就是对 y ′ = d y / d x y'=dy/dx y=dy/dx取倒数,等式右侧也一样

是微分方程但不用求解

30J.L13.11

考的实际上是 y ′ ′ y'' y′′和函数极值的关系

变量代换

遇到实在看不出来属于哪个类型的就变量代换,如 y ′ = cos ⁡ ( x + y ) y'=\cos(x+y) y=cos(x+y)

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