第 14 章程序员常用算法

文章目录

14.1 二分查找算法(非递归)
- 14.1.1 二分查找算法(非递归)介绍
- 14.1.2 二分查找算法(非递归)代码实现
14.2 分治算法
- 14.2.1 分治算法介绍
- 14.2.2 分治算法的基本步骤
- 14.2.3 分治(Divide-and-Conquer(P))算法设计模式如下：
- 14.2.4 分治算法最佳实践-汉诺塔
14.3 动态规划算法
- 14.3.1 应用场景-背包问题
- 14.3.2 动态规划算法介绍
- 14.3.3 动态规划算法最佳实践-背包问题
- 14.3.4 动态规划-背包问题的代码实现
14.4 KMP 算法
- 14.4.1 应用场景-字符串匹配问题
- 14.4.2 暴力匹配算法
- 14.4.3 KMP 算法介绍
- 14.4.4 KMP 算法最佳应用-字符串匹配问题
14.5 贪心算法
- 14.5.1 应用场景-集合覆盖问题
- 14.5.2 贪心算法介绍
- 14.5.3 贪心算法最佳应用-集合覆盖
- 14.5.4 贪心算法注意事项和细节
14.6 普里姆算法
- 14.6.1 应用场景-修路问题
- 14.6.2 最小生成树
- 14.6.3 普里姆算法介绍
- 14.6.4 普里姆算法最佳实践(修路问题)
14.7 克鲁斯卡尔算法
- 14.7.1 应用场景-公交站问题
- 14.7.2 克鲁斯卡尔算法介绍
- 14.7.3 克鲁斯卡尔算法图解说明
- 14.7.4 克鲁斯卡尔最佳实践-公交站问题
14.8 迪杰斯特拉算法
- 14.8.1 应用场景-最短路径问题
- 14.8.2 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍
- 14.8.3 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程
- 14.8.4 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法最佳应用-最短路径
14.9 弗洛伊德算法
- 14.9.1 弗洛伊德(Floyd)算法介绍
- 14.9.2 弗洛伊德(Floyd)算法图解分析
- 14.9.3 弗洛伊德(Floyd)算法最佳应用-最短路径
14.10 马踏棋盘算法
- 14.10.1 马踏棋盘算法介绍和游戏演示
- 14.10.2 马踏棋盘游戏代码实现

14.1 二分查找算法(非递归)

14.1.1 二分查找算法(非递归)介绍

前面我们讲过了二分查找算法，是使用递归的方式，下面我们讲解二分查找算法的非递归方式
二分查找法只适用于从有序的数列中进行查找(比如数字和字母等)，将数列排序后再进行查找
二分查找法的运行时间为对数时间 O(㏒₂n) ，即查找到需要的目标位置最多只需要㏒₂n 步，假设从[0,99]的队列(100 个数，即 n=100)中寻到目标数 30，则需要查找步数为㏒₂100 , 即最多需要查找 7 次( 2^6 < 100 < 2^7)

14.1.2 二分查找算法(非递归)代码实现

数组 {1,3, 8, 10, 11, 67, 100}, 编程实现二分查找，要求使用非递归的方式完成.

思路分析：

代码实现：

package com.atguigu.binarysearchnorecursion;

public class BinarySearchNoRecur {

public static void main(String[] args) {
	//测试
	int[] arr = {1,3, 8, 10, 11, 67, 100};
	int index = binarySearch(arr, 100);
	System.out.println("index=" + index);//
}

//二分查找的非递归实现
/**
 * 
 * @param arr 待查找的数组, arr是升序排序
 * @param target 需要查找的数
 * @return 返回对应下标，-1表示没有找到
 */
public static int binarySearch(int[] arr, int target) {
	
	int left = 0;
	int right = arr.length - 1;
	while(left <= right) { //说明继续查找
		int mid = (left + right) / 2;
		if(arr[mid] == target) {
			return mid;
		} else if ( arr[mid] > target) {
			right = mid - 1;//需要向左边查找
		} else {
			left = mid + 1; //需要向右边查找
		}
	}
	return -1;
}

}

14.2 分治算法

14.2.1 分治算法介绍

分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
分治算法可以求解的一些经典问题
 二分搜索
 大整数乘法
 棋盘覆盖
 合并排序
 快速排序
 线性时间选择
 最接近点对问题
 循环赛日程表
 汉诺塔

14.2.2 分治算法的基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤：

分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题
解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

14.2.3 分治(Divide-and-Conquer§)算法设计模式如下：

14.2.4 分治算法最佳实践-汉诺塔

 汉诺塔的传说
汉诺塔：汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着 64 片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。

假如每秒钟一次，共需多长时间呢？移完这些金片需要 5845.54 亿年以上，太阳系的预期寿命据说也就是数百
亿年。真的过了 5845.54 亿年，地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。

 汉诺塔游戏的演示和思路分析:

如果是有一个盘， A->C

如果我们有 n >= 2 情况，我们总是可以看做是两个盘 1.最下边的盘 2. 上面的盘

先把最上面的盘 A->B
把最下边的盘 A->C
把 B 塔的所有盘从 B->C

 汉诺塔游戏的代码实现:

package com.atguigu.dac;

public class Hanoitower {

	public static void main(String[] args) {
		hanoiTower(10, 'A', 'B', 'C');
	}
	
	//汉诺塔的移动的方法
	//使用分治算法
	
	public static void hanoiTower(int num, char a, char b, char c) {
		//如果只有一个盘
		if(num == 1) {
			System.out.println("第1个盘从 " + a + "->" + c);
		} else {
			//如果我们有 n >= 2 情况，我们总是可以看做是两个盘 1.最下边的一个盘 2. 上面的所有盘
			//1. 先把 最上面的所有盘 A->B， 移动过程会使用到 c
			hanoiTower(num - 1, a, c, b);
			//2. 把最下边的盘 A->C
			System.out.println("第" + num + "个盘从 " + a + "->" + c);
			//3. 把B塔的所有盘 从 B->C , 移动过程使用到 a塔  
			hanoiTower(num - 1, b, a, c);
			
		}
	}

}

14.3 动态规划算法

14.3.1 应用场景-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为 4 磅，现有如下物品

要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
要求装入的物品不能重复

14.3.2 动态规划算法介绍

动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

14.3.3 动态规划算法最佳实践-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为 4 磅，现有如下物品

要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
要求装入的物品不能重复

思路分析和图解
3) 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价
值最大。其中又分 01 背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
4) 这里的问题属于 01 背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包。
5) 算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i]和 v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的 n 个物品，设 v[i]、w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量。再令 v[i][j]表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。

则我们有下面的结果：

(1)	v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是 0
(2)	当 w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j]	// 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
(3)	当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
// 装入的方式:
v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]] ： 装入 i-1 商品，到剩余空间 j-w[i]的最大值当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :

图解的分析

14.3.4 动态规划-背包问题的代码实现

package com.atguigu.dynamic;

public class KnapsackProblem {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
		int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i]
		int m = 4; //背包的容量
		int n = val.length; //物品的个数
		
		
		
		//创建二维数组，
		//v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
		int[][] v = new int[n+1][m+1];
		//为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
		int[][] path = new int[n+1][m+1];
		
		//初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
		for(int i = 0; i < v.length; i++) {
			v[i][0] = 0; //将第一列设置为0
		}
		for(int i=0; i < v[0].length; i++) {
			v[0][i] = 0; //将第一行设置0
		}
		
		
		//根据前面得到公式来动态规划处理
		for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的
			for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的
				//公式
				if(w[i-1]> j) { // 因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
					v[i][j]=v[i-1][j];
				} else {
					//说明:
					//因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成
					//v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
					//v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
					//为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式
					if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
						v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
						//把当前的情况记录到path
						path[i][j] = 1;
					} else {
						v[i][j] = v[i - 1][j];
					}
					
				}
			}
		}
		
		//输出一下v 看看目前的情况
		for(int i =0; i < v.length;i++) {
			for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {
				System.out.print(v[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();
		}
		
		System.out.println("============================");
		//输出最后我们是放入的哪些商品
		//遍历path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入
//		for(int i = 0; i < path.length; i++) {
//			for(int j=0; j < path[i].length; j++) {
//				if(path[i][j] == 1) {
//					System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
//				}
//			}
//		}
		
		//动脑筋
		int i = path.length - 1; //行的最大下标
		int j = path[0].length - 1;  //列的最大下标
		while(i > 0 && j > 0 ) { //从path的最后开始找
			if(path[i][j] == 1) {
				System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i); 
				j -= w[i-1]; //w[i-1]
			}
			i--;
		}
		
	}

}

14.4 KMP 算法

14.4.1 应用场景-字符串匹配问题

 字符串匹配问题：：

有一个字符串 str1= ““硅硅谷尚硅谷你尚硅尚硅谷你尚硅谷你尚硅你好””，和一个子串 str2=“尚硅谷你尚硅你”
现在要判断 str1 是否含有 str2, 如果存在，就返回第一次出现的位置, 如果没有，则返回-1

14.4.2 暴力匹配算法

如果用暴力匹配的思路，并假设现在 str1 匹配到 i 位置，子串 str2 匹配到 j 位置，则有:

如果当前字符匹配成功（即 str1[i] == str2[j]），则 i++，j++，继续匹配下一个字符
如果失配（即 str1[i]! = str2[j]），令 i = i - (j - 1)，j = 0。相当于每次匹配失败时，i 回溯，j 被置为 0。
用暴力方法解决的话就会有大量的回溯，每次只移动一位，若是不匹配，移动到下一位接着判断，浪费了大量的时间。(不可行!)
暴力匹配算法实现.

代码

package com.atguigu.kmp;

public class ViolenceMatch {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		//测试暴力匹配算法
		String str1 = "硅硅谷 尚硅谷你尚硅 尚硅谷你尚硅谷你尚硅你好";
		String str2 = "尚硅谷你尚硅你~";
		int index = violenceMatch(str1, str2);
		System.out.println("index=" + index);

	}

	// 暴力匹配算法实现
	public static int violenceMatch(String str1, String str2) {
		char[] s1 = str1.toCharArray();
		char[] s2 = str2.toCharArray();

		int s1Len = s1.length;
		int s2Len = s2.length;

		int i = 0; // i索引指向s1
		int j = 0; // j索引指向s2
		while (i < s1Len && j < s2Len) {// 保证匹配时，不越界

			if(s1[i] == s2[j]) {//匹配ok
				i++;
				j++;
			} else { //没有匹配成功
				//如果失配（即str1[i]! = str2[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0。
				i = i - (j - 1);
				j = 0;
			}
		}
		
		//判断是否匹配成功
		if(j == s2Len) {
			return i - j;
		} else {
			return -1;
		}
	}

}

14.4.3 KMP 算法介绍

KMP 是一个解决模式串在文本串是否出现过，如果出现过，最早出现的位置的经典算法
Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法，简称为 “KMP 算法”，常用于在一个文本串 S 内查找一个模式串 P 的出现位置，这个算法由 Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris 三人于 1977 年联合发表，故取这 3 人的姓氏命名此算法.
KMP 方法算法就利用之前判断过信息，通过一个 next 数组，保存模式串中前后最长公共子序列的长度，每次回溯时，通过 next 数组找到，前面匹配过的位置，省去了大量的计算时间
参考资料：https://www.cnblogs.com/ZuoAndFutureGirl/p/9028287.html

14.4.4 KMP 算法最佳应用-字符串匹配问题

 字符串匹配问题：：

有一个字符串 str1= “BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，和一个子串 str2=“ABCDABD”
现在要判断 str1 是否含有 str2, 如果存在，就返回第一次出现的位置, 如果没有，则返回-1
要求：使用 KMP 算法完成判断，不能使用简单的暴力匹配算法.

 思路分析图解

举例来说，有一个字符串 Str1 = “BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，判断，里面是否包含另一个字符串 Str2 =
“ABCDABD”？

首先，用 Str1 的第一个字符和 Str2 的第一个字符去比较，不符合，关键词向后移动一位

2. 重复第一步，还是不符合，再后移

一直重复，直到 Str1 有一个字符与 Str2 的第一个字符符合为止
接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是符合。

遇到 Str1 有一个字符与 Str2 对应的字符不符合。

这时候，想到的是继续遍历 Str1 的下一个字符，重复第 1 步。(其实是很不明智的，因为此时 BCD 已经比较过了，没有必要再做重复的工作，一个基本事实是，当空格与 D 不匹配时，你其实知道前面六个字符是”ABCDAB”。 KMP 算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把”搜索位置”移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。)

7. 怎么做到把刚刚重复的步骤省略掉？可以对 Str2 计算出一张《部分匹配表》，这张表的产生在后面介绍

8. 已知空格与 D 不匹配时，前面六个字符”ABCDAB”是匹配的。查表可知，最后一个匹配字符 B 对应的”部分匹配值”为 2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数：
移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值因为 6 - 2 等于 4，所以将搜索词向后移动 4 位。

因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为 2（”AB”），对应的”部分匹配值”为 0。所以，移动位数 = 2 - 0，结果为 2，于是将搜索词向后移 2 位。
因为空格与 A 不匹配，继续后移一位。
逐位比较，直到发现 C 与 D 不匹配。于是，移动位数 = 6 - 2，继续将搜索词向后移动 4 位。
逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索词向后移动 7 位，这里就不再重复了。

介绍《部分匹配表》怎么产生的先介绍前缀，后缀是什么

“部分匹配值”就是”前缀”和”后缀”的最长的共有元素的长度。以”ABCDABD”为例，
－”A”的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为 0；
－”AB”的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为 0；
－”ABC”的前缀为[A, AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度 0；
－”ABCD”的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD, D]，共有元素的长度为 0；
－”ABCDA”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为”A”，长度为 1；
－”ABCDAB”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为”AB”，
长度为 2；
－”ABCDABD”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD,
D]，共有元素的长度为 0。

”部分匹配”的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，”ABCDAB”之中有两个”AB”，那么它的”部分匹配值”就是 2（”AB”的长度）。搜索词移动的时候，第一个”AB”向后移动 4 位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个”AB”的位置。

到此 KMP 算法思想分析完毕!

 代码实现

	package com.atguigu.kmp;
	
	import java.util.Arrays;
	
	public class KMPAlgorithm {
	
		public static void main(String[] args) {
			// TODO Auto-generated method stub
			String str1 = "BBC ABCDAB ABCDABCDABDE";
			String str2 = "ABCDABD";
			//String str2 = "BBC";
			
			int[] next = kmpNext("ABCDABD"); //[0, 1, 2, 0]
			System.out.println("next=" + Arrays.toString(next));
			
			int index = kmpSearch(str1, str2, next);
			System.out.println("index=" + index); // 15了
			
			
		}
		
		//写出我们的kmp搜索算法
		/**
		 * 
		 * @param str1 源字符串
		 * @param str2 子串
		 * @param next 部分匹配表, 是子串对应的部分匹配表
		 * @return 如果是-1就是没有匹配到，否则返回第一个匹配的位置
		 */
		public static int kmpSearch(String str1, String str2, int[] next) {
			
			//遍历 
			for(int i = 0, j = 0; i < str1.length(); i++) {
				
				//需要处理 str1.charAt(i) ！= str2.charAt(j), 去调整j的大小
				//KMP算法核心点, 可以验证...
				while( j > 0 && str1.charAt(i) != str2.charAt(j)) {
					j = next[j-1]; 
				}
				
				if(str1.charAt(i) == str2.charAt(j)) {
					j++;
				}			
				if(j == str2.length()) {//找到了 // j = 3 i 
					return i - j + 1;
				}
			}
			return  -1;
		}
	
		//获取到一个字符串(子串) 的部分匹配值表
		public static  int[] kmpNext(String dest) {
			//创建一个next 数组保存部分匹配值
			int[] next = new int[dest.length()];
			next[0] = 0; //如果字符串是长度为1 部分匹配值就是0
			for(int i = 1, j = 0; i < dest.length(); i++) {
				//当dest.charAt(i) != dest.charAt(j) ，我们需要从next[j-1]获取新的j
				//直到我们发现 有  dest.charAt(i) == dest.charAt(j)成立才退出
				//这时kmp算法的核心点
				while(j > 0 && dest.charAt(i) != dest.charAt(j)) {
					j = next[j-1];
				}
				
				//当dest.charAt(i) == dest.charAt(j) 满足时，部分匹配值就是+1
				if(dest.charAt(i) == dest.charAt(j)) {
					j++;
				}
				next[i] = j;
			}
			return next;
		}
	}

14.5 贪心算法

14.5.1 应用场景-集合覆盖问题

假设存在下面需要付费的广播台，以及广播台信号可以覆盖的地区。如何选择最少的广播台，让所有的地区都可以接收到信号

14.5.2 贪心算法介绍

贪婪算法(贪心算法)是指在对问题进行求解时，在每一步选择中都采取最好或者最优(即最有利)的选择，从而希望能够导致结果是最好或者最优的算法
贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)，但是都是相对近似(接近)最优解的结果

14.5.3 贪心算法最佳应用-集合覆盖

假设存在如下表的需要付费的广播台，以及广播台信号可以覆盖的地区。如何选择最少的广播台，让所有的地区都可以接收到信号

思路分析:
 如何找出覆盖所有地区的广播台的集合呢，使用穷举法实现,列出每个可能的广播台的集合，这被称为幂集。假设总的有 n 个广播台，则广播台的组合总共有
2ⁿ -1 个,假设每秒可以计算 10 个子集，如图:

 使用贪婪算法，效率高:

目前并没有算法可以快速计算得到准备的值，使用贪婪算法，则可以得到非常接近的解，并且效率高。选择策略上，因为需要覆盖全部地区的最小集合:
遍历所有的广播电台, 找到一个覆盖了最多未覆盖的地区的电台(此电台可能包含一些已覆盖的地区，但没有关系）
将这个电台加入到一个集合中(比如 ArrayList), 想办法把该电台覆盖的地区在下次比较时去掉。
重复第 1 步直到覆盖了全部的地区分析的图解:

代码实现

package com.atguigu.greedy;

import java.util.ArrayList;
import java.util.HashMap;
import java.util.HashSet;

public class GreedyAlgorithm {

	public static void main(String[] args) {
		//创建广播电台,放入到Map
		HashMap> broadcasts = new HashMap>();
		//将各个电台放入到broadcasts
		HashSet hashSet1 = new HashSet();
		hashSet1.add("北京");
		hashSet1.add("上海");
		hashSet1.add("天津");
		
		HashSet hashSet2 = new HashSet();
		hashSet2.add("广州");
		hashSet2.add("北京");
		hashSet2.add("深圳");
		
		HashSet hashSet3 = new HashSet();
		hashSet3.add("成都");
		hashSet3.add("上海");
		hashSet3.add("杭州");
		
		
		HashSet hashSet4 = new HashSet();
		hashSet4.add("上海");
		hashSet4.add("天津");
		
		HashSet hashSet5 = new HashSet();
		hashSet5.add("杭州");
		hashSet5.add("大连");
	
		//加入到map
		broadcasts.put("K1", hashSet1);
		broadcasts.put("K2", hashSet2);
		broadcasts.put("K3", hashSet3);
		broadcasts.put("K4", hashSet4);
		broadcasts.put("K5", hashSet5);
		
		//allAreas 存放所有的地区
		HashSet allAreas = new HashSet();
		allAreas.add("北京");
		allAreas.add("上海");
		allAreas.add("天津");
		allAreas.add("广州");
		allAreas.add("深圳");
		allAreas.add("成都");
		allAreas.add("杭州");
		allAreas.add("大连");
		
		//创建ArrayList, 存放选择的电台集合
		ArrayList selects = new ArrayList();
		
		//定义一个临时的集合， 在遍历的过程中，存放遍历过程中的电台覆盖的地区和当前还没有覆盖的地区的交集
		HashSet tempSet = new HashSet();
		
		//定义给maxKey ， 保存在一次遍历过程中，能够覆盖最大未覆盖的地区对应的电台的key
		//如果maxKey 不为null , 则会加入到 selects
		String maxKey = null;
		while(allAreas.size() != 0) { // 如果allAreas 不为0, 则表示还没有覆盖到所有的地区
			//每进行一次while,需要
			maxKey = null;
			
			//遍历 broadcasts, 取出对应key
			for(String key : broadcasts.keySet()) {
				//每进行一次for
				tempSet.clear();
				//当前这个key能够覆盖的地区
				HashSet areas = broadcasts.get(key);
				tempSet.addAll(areas);
				//求出tempSet 和   allAreas 集合的交集, 交集会赋给 tempSet
				tempSet.retainAll(allAreas);
				//如果当前这个集合包含的未覆盖地区的数量，比maxKey指向的集合地区还多
				//就需要重置maxKey
				// tempSet.size() >broadcasts.get(maxKey).size()) 体现出贪心算法的特点,每次都选择最优的
				if(tempSet.size() > 0 && 
						(maxKey == null || tempSet.size() >broadcasts.get(maxKey).size())){
					maxKey = key;
				}
			}
			//maxKey != null, 就应该将maxKey 加入selects
			if(maxKey != null) {
				selects.add(maxKey);
				//将maxKey指向的广播电台覆盖的地区，从 allAreas 去掉
				allAreas.removeAll(broadcasts.get(maxKey));
			}
			
		}
		
		System.out.println("得到的选择结果是" + selects);//[K1,K2,K3,K5]
		
		
		
	}

}

14.5.4 贪心算法注意事项和细节

贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)，但是都是相对近似(接近)最优解的结果
比如上题的算法选出的是 K1, K2, K3, K5，符合覆盖了全部的地区
但是我们发现 K2, K3,K4,K5 也可以覆盖全部地区，如果 K2 的使用成本低于 K1,那么我们上题的 K1, K2, K3, K5 虽然是满足条件，但是并不是最优的.

14.6 普里姆算法

14.6.1 应用场景-修路问题

 看一个应用场景和问题：

有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个村庄连通
各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?思路: 将 10 条边，连接即可，但是总的里程数不是最小.
正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少.

14.6.2 最小生成树

修路问题本质就是就是最小生成树问题，先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称 MST。给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树

N 个顶点，一定有 N-1 条边
包含全部顶点
N-1 条边都在图中
举例说明(如图:)
求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

14.6.3 普里姆算法介绍

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含 n 个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有 n 个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
普利姆的算法如下:

设 G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U 是顶点集合，E,D 是边的集合
若从顶点 u 开始构造最小生成树，则从集合 V 中取出顶点 u 放入集合 U 中，标记顶点 v 的 visited[u]=1
若集合 U 中顶点 ui 与集合 V-U 中的顶点 vj 之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点 vj 加入集合 U 中，将边（ui,vj）加入集合 D 中，标记 visited[vj]=1
重复步骤②，直到 U 与 V 相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时 D 中有 n-1 条边
提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解.
图解普利姆算法

14.6.4 普里姆算法最佳实践(修路问题)

有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个村庄连通
各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

思路分析+代码演示:

package com.atguigu.prim;

import java.util.Arrays;

public class PrimAlgorithm {

	public static void main(String[] args) {
		//测试看看图是否创建ok
		char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
		int verxs = data.length;
		//邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数，表示两个点不联通
		int [][]weight=new int[][]{
            {10000,5,7,10000,10000,10000,2},
            {5,10000,10000,9,10000,10000,3},
            {7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
            {10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
            {10000,10000,8,10000,10000,5,4},
            {10000,10000,10000,4,5,10000,6},
            {2,3,10000,10000,4,6,10000},};
            
        //创建MGraph对象
        MGraph graph = new MGraph(verxs);
        //创建一个MinTree对象
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
        //输出
        minTree.showGraph(graph);
        //测试普利姆算法
        minTree.prim(graph, 1);// 
	}

}

//创建最小生成树->村庄的图
class MinTree {
	//创建图的邻接矩阵
	/**
	 * 
	 * @param graph 图对象
	 * @param verxs 图对应的顶点个数
	 * @param data 图的各个顶点的值
	 * @param weight 图的邻接矩阵
	 */
	public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
		int i, j;
		for(i = 0; i < verxs; i++) {//顶点
			graph.data[i] = data[i];
			for(j = 0; j < verxs; j++) {
				graph.weight[i][j] = weight[i][j];
			}
		}
	}
	
	//显示图的邻接矩阵
	public void showGraph(MGraph graph) {
		for(int[] link: graph.weight) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}
	
	//编写prim算法，得到最小生成树
	/**
	 * 
	 * @param graph 图
	 * @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1...
	 */
	public void prim(MGraph graph, int v) {
		//visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过
		int visited[] = new int[graph.verxs];
		//visited[] 默认元素的值都是0, 表示没有访问过
//		for(int i =0; i  权值:" + minWeight);
			//将当前这个结点标记为已经访问
			visited[h2] = 1;
			//minWeight 重新设置为最大值 10000
			minWeight = 10000;
		}
		
	}
}

class MGraph {
	int verxs; //表示图的节点个数
	char[] data;//存放结点数据
	int[][] weight; //存放边，就是我们的邻接矩阵
	
	public MGraph(int verxs) {
		this.verxs = verxs;
		data = new char[verxs];
		weight = new int[verxs][verxs];
	}
}

14.7 克鲁斯卡尔算法

14.7.1 应用场景-公交站问题

看一个应用场景和问题：

某城市新增 7 个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个站点连通
各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12 公里
问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

14.7.2 克鲁斯卡尔算法介绍

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想：按照权值从小到大的顺序选择 n-1 条边，并保证这 n-1 条边不构成回路
具体做法：首先构造一个只含 n 个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

14.7.3 克鲁斯卡尔算法图解说明

以城市公交站问题来图解说明克鲁斯卡尔算法的原理和步骤：
在含有 n 个顶点的连通图中选择 n-1 条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中 n-1 条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。

例如，对于如上图 G4 所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

克鲁斯卡尔算法图解

以上图 G4 为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组 R 保存最小生成树结果)。

	第 1 步：将边加入 R 中。
	边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
	第 2 步：将边加入 R 中。
	上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
	第 3 步：将边加入 R 中。
	上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
	第 4 步：将边加入 R 中。
	上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳过边。将边加入到最小生成树结果 R 中。
	第 5 步：将边加入 R 中。
	上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
	第 6 步：将边加入 R 中。
	上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳过边。将边加入到最小生成树结果 R 中。
	此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：     。

克鲁斯卡尔算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

如何判断是否构成回路- 举例说明( 如图)

在将加入到最小生成树 R 中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
(01) C 的终点是 F。
(02) D 的终点是 F。
(03) E 的终点是 F。
(04) F 的终点是 F。

关于终点的说明：

就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
因此，接下来，虽然是权值最小的边。但是 C 和 E 的终点都是 F，即它们的终点相同，因此，将加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。【后面有代码说明】

14.7.4 克鲁斯卡尔最佳实践-公交站问题

看一个公交站问题：

有北京有新增 7 个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个站点连通
各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12 公里
问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

代码实现和注解

 package com.atguigu.kruskal;

import java.util.Arrays;

public class KruskalCase {

	private int edgeNum; //边的个数
	private char[] vertexs; //顶点数组
	private int[][] matrix; //邻接矩阵
	//使用 INF 表示两个顶点不能连通
	private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
	
	public static void main(String[] args) {
		char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
		//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵  
	      int matrix[][] = {
	      /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
	/*A*/ {   0,  12, INF, INF, INF,  16,  14},
	/*B*/ {  12,   0,  10, INF, INF,   7, INF},
	/*C*/ { INF,  10,   0,   3,   5,   6, INF},
	/*D*/ { INF, INF,   3,   0,   4, INF, INF},
	/*E*/ { INF, INF,   5,   4,   0,   2,   8},
	/*F*/ {  16,   7,   6, INF,   2,   0,   9},
	/*G*/ {  14, INF, INF, INF,   8,   9,   0}}; 
	      //大家可以在去测试其它的邻接矩阵，结果都可以得到最小生成树.
	      
	      //创建KruskalCase 对象实例
	      KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
	      //输出构建的
	      kruskalCase.print();
	      kruskalCase.kruskal();
	      
	}
	
	//构造器
	public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
		//初始化顶点数和边的个数
		int vlen = vertexs.length;
		
		//初始化顶点, 复制拷贝的方式
		this.vertexs = new char[vlen];
		for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
			this.vertexs[i] = vertexs[i];
		}
		
		//初始化边, 使用的是复制拷贝的方式
		this.matrix = new int[vlen][vlen];
		for(int i = 0; i < vlen; i++) {
			for(int j= 0; j < vlen; j++) {
				this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
			}
		}
		//统计边的条数
		for(int i =0; i < vlen; i++) {
			for(int j = i+1; j < vlen; j++) {
				if(this.matrix[i][j] != INF) {
					edgeNum++;
				}
			}
		}
		
	}
	public void kruskal() {
		int index = 0; //表示最后结果数组的索引
		int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点
		//创建结果数组, 保存最后的最小生成树
		EData[] rets = new EData[edgeNum];
		
		//获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边
		EData[] edges = getEdges();
		System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12
		
		//按照边的权值大小进行排序(从小到大)
		sortEdges(edges);
		
		//遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入
		for(int i=0; i < edgeNum; i++) {
			//获取到第i条边的第一个顶点(起点)
			int p1 = getPosition(edges[i].start); //p1=4
			//获取到第i条边的第2个顶点
			int p2 = getPosition(edges[i].end); //p2 = 5
			
			//获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
			int m = getEnd(ends, p1); //m = 4
			//获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
			int n = getEnd(ends, p2); // n = 5
			//是否构成回路
			if(m != n) { //没有构成回路
				ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点  [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
				rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组
			}
		}
		//     。
		//统计并打印 "最小生成树", 输出  rets
		System.out.println("最小生成树为");
		for(int i = 0; i < index; i++) {
			System.out.println(rets[i]);
		}
		
		
	}
	
	//打印邻接矩阵
	public void print() {
		System.out.println("邻接矩阵为: \n");
		for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
			for(int j=0; j < vertexs.length; j++) {
				System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);
			}
			System.out.println();//换行
		}
	}

	/**
	 * 功能：对边进行排序处理, 冒泡排序
	 * @param edges 边的集合
	 */
	private void sortEdges(EData[] edges) {
		for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
			for(int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
				if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) {//交换
					EData tmp = edges[j];
					edges[j] = edges[j+1];
					edges[j+1] = tmp;
				}
			}
 		}
	}
	/**
	 * 
	 * @param ch 顶点的值，比如'A','B'
	 * @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1
	 */
	private int getPosition(char ch) {
		for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
			if(vertexs[i] == ch) {//找到
				return i;
			}
		}
		//找不到,返回-1
		return -1;
	}
	/**
	 * 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组
	 * 是通过matrix 邻接矩阵来获取
	 * EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....]
	 * @return
	 */
	private EData[] getEdges() {
		int index = 0;
		EData[] edges = new EData[edgeNum];
		for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
			for(int j=i+1; j = " + weight + "]";
	}
	
	
}

14.8 迪杰斯特拉算法

14.8.1 应用场景-最短路径问题