Python蒸发散物理问题(微积分-线性代数-拉普拉斯和傅立叶变换)

使用Python计算解决土壤物理问题的数值。这里数值过程用于求解微分方程，数值方法将微分转化为代数方程，可以使用传统的线性代数方法求解。

Python拉普拉斯变换求解微分方程示例

假设我们有微分方程
$$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+16y=\cos 4t$$
对于未知函数 $y(t)$。该方程描述了物理学中具有摩擦力的受迫振荡器。作为初始条件，我们选择 $y(0)=y^{\prime }(0)=0$。

拉普拉斯变换提供了求解此类方程的最方便的方法。首先，看看如果我们对未知函数的二阶导数进行拉普拉斯变换，会发生什么：
$$\begin{array}{c}L\left(y^{\prime \prime }\right)={\int }_0^{\infty }{y}^{\prime \prime }(t)e^{-pt}dt=\\ {\left[y^{\prime }(t)e^{-pt}\right]}_0^{\infty }-(-p){\int }_0^{\infty }{y}^{\prime }(t)e^{-pt}dt=\\ pL\left(y^{\prime }\right)-y^{\prime }(0)\end{array}$$
我们从第一行到第二行使用了部分积分。因此，我们可以通过乘以 $\mathrm{p}$ 并减去一阶导数的初始条件来替换二阶导数。对于 $L\left(y^{\prime }\right)$ 我们做同样的事情并得到：
$$L\left(y^{\prime }\right)={\int }_0^{\infty }{y}^{\prime }(t)e^{-pt}dt=pL(y)-y(0)$$

$$L\left(y^{\prime \prime }\right)=p^{2}L(y)-py(0)-y^{\prime }(0)$$

这使我们能够对整个微分方程进行拉普拉斯变换。让我们切换到 Python 并启动 Jupyter notebook。定义符号和微分方程，以及未计算的拉普拉斯变换：

from sympy import *

t, p = symbols('t, p')
y = Function('y')

# The unevaluated Laplace transform:
Y = laplace_transform(y(t), t, p)

eq = Eq(diff(y(t), (t, 2)) + 2 * diff(y(t), t) + 16*y(t), 
        cos(4*t))

eq

$16y(t)+2\frac{d}{dt}y(t)+\frac{d^2}{d{t}^2}y(t)=\cos (4t)$

Y

${\mathcal{L}}_t[y(t)](p)$

右侧看起来像这样：

laplace_transform(eq.lhs, t, p )

p 2 L t [ y ( t ) ] ( p ) + 2 p L t [ y ( t ) ] ( p ) − p y ( 0 ) + 16 L t [ y ( t ) ] ( p ) − 2 y ( 0 ) − d d t y ( t ) ∣ t = 0 p^2 \mathcal{L}_t[y(t)](p)+2 p \mathcal{L}_t[y(t)](p)-p y(0)+16 \mathcal{L}_t[y(t)](p)-2 y(0)-\left.\frac{d}{d t} y(t)\right|_{t=0} p2Lt​[y(t)](p)+2pLt​[y(t)](p)−py(0)+16Lt​[y(t)](p)−2y(0)−dtd​y(t) ​t=0​

对于 d d t y ( t ) ∣ t = 0 \left.\frac{d}{d t} y(t)\right|_{t=0} dtd​y(t) ​t=0​，使用 Subs 类，它表示表达式的未评估替换。这正是我们所需要的。所以我们的初始条件是

initial ={
	y(0): 0,
	Subs(diff(y(t), t), t, 0): 0
}

现在我们可以将微分方程的拉普拉斯变换写为

eq_p=Eq(
	laplace_transform(eq.lhs,t,p).subs(initial),
	laplace_transform(eq.rhs,t,p,noconds=True)
)

eq_p

$p^2{\mathcal{L}}_t[y(t)](p)+2p{\mathcal{L}}_t[y(t)](p)+16{\mathcal{L}}_t[y(t)](p)=\frac{p}{p^2+16}$

求解 L[y]为：

solve(_,Y)

$[p/(p\ast \ast 4+2\ast p\ast \ast 3+32\ast p\ast \ast 2+32\ast p+256)]$

sol_Y=_[0]

并从拉普拉斯变换回正常空间：

inverse_laplace_transform(sol_Y,p,t)

$\frac{\left(15e^t\sin (4t)-4\sqrt{15}\sin (\sqrt{15}t)\right)e^{-t}\theta (t)}{120}$

稍微整理一下：

expand(_)

$\frac{\sin (4t)\theta (t)}{8}-\frac{\sqrt{15}{e}^{-t}\sin (\sqrt{15}t)\theta (t)}{30}$

collect(_,Heaviside(t))

$\left(\frac{\sin (4t)}{8}-\frac{\sqrt{15}{e}^{-t}\sin (\sqrt{15}t)}{30}\right)\theta (t)$

这是一个简洁的形式，我们将在此停止。 Heaviside $\theta \theta$ 函数使所有 $t<0$ 的值等于 0，这是可以的，因为我们只需要 $t\ge 0$ 的解。

请注意，拉普拉斯方法会自动处理初始条件，而无需从通解中确定常数！这使得它比大多数其他方法舒服得多。

最后，让我们绘制解：

p1=plot(_,(t,0,10),
		show=False,label='y(t)',legend=True,ylabel='')
p2=plot(cos(4*t),(t,0,10),show=False,label=r'$\cos4t$')
p1.append(p2[0])
p1.show()

上面的例子展示了如何解决具有齐次初始条件 $\left(y(0)=y^{\prime }(0)=0\right)$ 的问题。但拉普拉斯技术的使用当然不限于此。只需代入非齐次初始条件，求解 $Y(p)$，进行拉普拉斯逆变换，就得到了解 $y(t)$。

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参阅一：亚图跨际

参阅二：亚图跨际