二分归并排序算法分析

数组排序

使用二分归并排序算法，对n个不同的数构成的数组A[1…n]进行排序，其中n=2^k

算法思想

二分归并排序是一种分治算法。这个算法不断地将一个数组分为两部分，分别对左子数组和右子数组排序，然后将两个数组合并为新的有序数组。
算法步骤如下：
（1） 分解：分解待排序的n个元素的数组成各具n/2个元素的两个子数组。
（2） 解决：使用归并排序递归地排序两个子序列。
（3） 合并：合并两个已排序的子序列以产生排序的答案。
当待排序的数组长度为1时，递归“开始回升”，在这种情况下不要做任何工作，因为长度为1的每个数组都已排好序。

下面以绘图方式演示通过二分归并排序算法的过程

核心代码

int Merge(int a[],int low, int mid, int high)// 合并函数
{
	int j, k, h;
	j = low;
	h = mid + 1;
	k = low;
	while (j<=mid&&h<=high)	// 将左右两端数据进行比较，放入辅助数组中
	{
		if (a[j] < a[h])
			b[k++] = a[j++];
		else
			b[k++] = a[h++];
	}
	// 将剩余的数据加入到辅助数组中
	while (j <= mid)
	{
		b[k++] = a[j++];
	}
	while (h<=high)
	{
		b[k++] = a[h++];
	}
	for (k = low; k <= high; k++)// 将辅助数组的数据复制到原数组的对应位置上
	{
		a[k] = b[k];
	}
}

int MergeSort(int a[],int low,int high)	// 递归分组函数
{
	if (low < high)
	{
		int mid = (low + high) / 2;
		MergeSort(a,low, mid);
		MergeSort(a,mid + 1, high);
		Merge(a,low, mid, high);// 调用Merge函数，合并两组数据 
	}
}

算法复杂度分析

二分归并排序算法是一种稳定的排序，其时间复杂度是O(logn) 。
Merge算法比较次数：

• 最差情况下，比较次数为n-1，时间复杂度为O(nlogn)，例如：2,4,6;1,3,5 比较次数为5
• 最优情况下，比较次数为n/2，时间复杂度为O(nlogn)，例如：1,2,3;4,5,6 比较次数为3
• 平均复杂度为O(nlogn)

递归方程如下：