几种常见的矩阵分解综合程序_matlab
矩阵分析与应用–矩阵分解
参数输入：
待分解矩阵： A A A
求解方法： m e t h o d method method
- LU分解（‘LU’）
- QR分解-古典施密特正交法（‘QR-古典型施密特’）
- QR分解-改进施密特正交法（‘QR-改进型施密特’）
- Householder分解（‘HouseholderReduction’）
- Givens分解（‘GivensReduction’）
- URV分解（‘URV’）
- 求行列式（‘Det’）
- 求解向量： b b b
原理说明：
- LU分解
本程序使用部分主元法进行LU分解，要求输入矩阵可逆。
分解结果 P A = L U PA=LU PA=LU，其中， P P P为初等行变换阵， L L L为主对角线元素为1的下三角矩阵， U U U为上三角矩阵。
本程序实现了四种QR分解的方法，分别是 Gram-Schmidt、modified Gram-Schmidt、Householder reduction 和 Givens reduction。要求输入矩阵列向量无关， 分解所得矩阵 A = Q R A=QR A=QR, 其中Q为正交方阵，R为上三角矩阵。
-
QR分解-古典施密特正交法
-
QR分解-改进施密特正交法
-
QR分解-Householder分解
-
QR分解-Givens分解
-
URV分解
A = U R V T A=URV^T A=URVT,其中， A A A为 m ∗ n m*n m∗n矩阵， U U U和 V V V分别为 m m m阶和 n n n阶正交矩阵。
U U U的前 r r r列是 R ( A ) R(A) R(A)的标准正交基，后 m − r m-r m−r列是 N ( A T ) N(A^T) N(AT)的标准正交基。
V V V的前 r r r列是 R ( A T ) R(A^T) R(AT)的标准正交基，后 m − r m-r m−r列是 N ( A ) N(A) N(A)的标准正交基. -
求行列式
- d e t ( A B ) = d e t ( A ) d e t ( B ) det(AB)=det(A)det(B) det(AB)=det(A)det(B)；
- 每进行一次基本行变换，行列式的值取负。
- 三角阵的行列式的值为主对角线元素乘积。
因此进行LU分解，PA=LU，记录P的行交换次数n，即 （ − 1 ） n ∗ d e t ( A ) = d e t ( L ) d e t ( U ) （-1）^n*det(A)=det(L)det(U) （−1）n∗det(A)=det(L)det(U).
-
求解向量
求解向量的有三种情况，即无解、有唯一解、有无穷多解。
本程序在QR分解的基础上：- 当存在唯一解时，使用解方程法逐步求解上三角阵R的逆，并将其代入方程中进行求解方程组。
- 当方程不可解时返回错误信息
- 当方程有无穷多解时返回基础解系和特解，
输入输出示例：
- LU分解
- 输入：
- A=[0 -20 -14; 3 27 -4; 4 11 -2]
- method = ‘LU’
- 调用：
- [P,L,U] = matrixAnalysis(A,‘LU’)
- QR分解（古典施密特正交法）
- 输入：
- A=[0 -20 -14; 3 27 -4; 4 11 -2]
- method = ‘QR-古典型施密特’
- 调用：
- [Q,R] = matrixAnalysis(A,‘QR-古典型施密特’)
- QR分解（改进施密特正交法）
- 输入：
- A=[0 -20 -14; 3 27 -4; 4 11 -2]
- method = ‘QR-古典型施密特’
- 调用：
- [Q,R] = matrixAnalysis(A,‘QR-改进型施密特’)
- 输入输出程序截图
- Householder分解
- 输入：
- A=[0 -20 -14; 3 27 -4; 4 11 -2]
- method = ‘HouseholderReduction’
- 调用：
- [Q,R] = matrixAnalysis(A,‘HouseholderReduction’)
- Givens分解
- 输入：
- A=[0 -20 -14; 3 27 -4; 4 11 -2]
- method = ‘GivensReduction’
- 调用：
- [Q,R] = matrixAnalysis(A,‘GivensReduction’)
- URV分解
- 输入：
- A = [-4 -2 -4 -2;2 -2 2 1;-4 1 -4 -2];
- method = ‘URV2’
- 调用：
- [U,V,R] = matrixAnalysis(A,‘URV2’)
- 求行列式（‘Det’）
- 输入：
- A=[0 -20 -14; 3 27 -4; 4 11 -2]
- method = ‘det’
- 调用：
- DetA = matrixAnalysis(A,‘det’)
- 求解向量： b b b
-
输入：
- A = [1 2 -3 4;4 8 12 -18;2 3 2 1;-3 -1 1 -4];
- b = [4 6 8 -7]’;
- method = b
-
调用：
- x = matrixAnalysis(A,b)
-
输入：
- A = [1 2 -3 4;4 8 12 -18;2 3 2 1;1 2 -3 4];
- b = [4 6 8 -7]’;
- method = b
-
调用：
- x = matrixAnalysis(A,b)
-
输入：
- A = [1 2 -3 4;4 8 12 -18;2 3 2 1;1 2 -3 4];
- b = [4 6 8 4]’;
- method = b
-
调用：
- x = matrixAnalysis(A,b)
程序
% % LU
% % QR（Gram-Schmidt）
%Orthogonal Reduction
% % Householder Reduction
% % Givens reduction)
% % URV
% %程序实现，要求如下：
%
% 1、一个综合程序，根据选择参数的不同，实现不同的矩阵分解；在此基础上，实现Ax=b方程组的求解，以及计算A的行列式；
%
% 2、可以用matlab、Python等编写程序，需附上简单的程序说明，比如参数代表什么意思，输入什么，输出什么等等，附上相应的例子；
%
% 3、一定是可执行文件，例如 .m文件等,不能是word或者txt文档。附上源代码，不能为直接调用matlab等函数库;
function varargout = matrixAnalysis(A,method)
A
[m,n] = size(A);
if isnumeric(method)
b = method
[~,Q1,R1] = Hous(A);
[~,~,R2] = Hous([A b]);
R1 = roundn(R1,-10);
R2 = roundn(R2,-10);
R1(all(R1==0,2),:) = [];
R2(all(R2==0,2),:) = [];
if(size(R1,1)~=size(R2,1))
fprintf("方程无解");
varargout{1} = [];
return;
elseif(size(R1,1)==size(R2,1)&&size(R2,1)==n)
R1contrary = contraryTra(R1);
fprintf("·······方程有唯一解为：\n");
x = R1contrary*Q1'*b;
varargout{1} = x;
else
%
R3= [A b];
P1 = eye(m);
for i=1:m-1
[~,currentMaxIndex] = max(abs(R3(i:m,i)));%寻找主元
P1([i currentMaxIndex+i-1],:)=P1([currentMaxIndex+i-1 i],:);%主元行变换
R3([i currentMaxIndex+i-1],:)=R3([currentMaxIndex+i-1 i],:);%主元行变换
for j=i+1:m
k = (R3(j,i)/R3(i,i));
R3(j,:) = R3(j,:)-k*R3(i,:);
P1(j,:) = P1(j,:)-k*P1(i,:);
end
end
R3;
% U
R3(all(abs(R3)<=1e-10,2),:) = [];
[m1,~] = size(R3);
[~,Ind]=max(R3~=0 , [] , 2);%z主元位置
for i=1:m1
R3(i,:) = R3(i,:)/R3(i,Ind(i));
for j=1:i-1
k = (R3(j,Ind(i))/R3(i,Ind(i)));
R3(j,:) = R3(j,:) - R3(i,:)*k;
P1(j,:) = P1(j,:) - P1(i,:)*k;
end
end
R3;
%U = [A(:,Ind) P1(m1+1:m,:)'];
% R
funSol = zeros(n,n-m1);
a=1:n;
[c i]=setdiff(a,Ind);
t=a(sort(i));
funSol(1:m1,:) = -R3(:,t);
fprintf("·······方程有无穷多解,基础解系为：\n");
funSol(m1+1:n,:) = eye(n-length(Ind))
fprintf("·······方程有无穷多解,其特解为：\n");
praSol = [R3(:,m+1);zeros(1,n-size(R2,1))]
x = [funSol praSol];
varargout{1} = x;
end
else
switch method
case "LU"
[~,P,Q,R] = LU(A);
varargout{1} = P;
varargout{2} = Q;
varargout{3} = R;
case "QR-古典型施密特"
[P,Q,R] = smiClass(A);
varargout{1} = Q;
varargout{2} = R;
case "QR-改进型施密特"
[P,Q,R] = smiImpr(A);
varargout{1} = Q;
varargout{2} = R;
case "GivensReduction"
[P,Q,R] = Givens(A);
varargout{1} = Q;
varargout{2} = R;
case "HouseholderReduction"
[P,Q,R] = Hous(A);
varargout{1} = Q;
varargout{2} = R;
case "URV1"
[U,V,R] = URV1(A);
varargout{1} = U;
varargout{2} = V;
varargout{3} = R;
case 'URV2'
[U,V,R] = URV2(A);
varargout{1} = U;
varargout{2} = V;
varargout{3} = R;
case 'det'
[P,Q,R,Det] = ourDet(A);
varargout{1} = Det;
end
end
end
function [count,P,Q,R] = LU(A)
[m,n] = size(A);
if m~=n
error("······您输入的不是方阵,无法进行LU分解或行列式计算·······");
end
count=0;
R = A;
P = eye(n);
Q = eye(n);
for i=1:n-1
a =eye(n);%初始化P0矩阵
b = a;%初始化M矩阵
[~,currentMaxIndex] = max(abs(R(i:n,i)));%寻找主元
if((currentMaxIndex+i-1)~=i)
count=count+1;
end
a([i currentMaxIndex+i-1],i:n)=a([currentMaxIndex+i-1 i],i:n);%主元行变换
%逐步计算 P M
P0{i} = a;
R = P0{i}*R;
M{i} = b;
for j=i+1:n
M{i}(j,i) = -(R(j,i)/R(i,i));
end
R = M{i}*R;%迭代变换
P = P0{i}*P;
Q = P0{i}*Q/(P0{i})*inv(M{i});
end
% P = roundn(P,-3);
% Q = roundn(Q,-3);
% R = roundn(R,-3);
end
function [P,Q,R] = smiClass(A)
[m,n] = size(A);
if m