【视觉SLAM十四讲】李群与李代数

本文为视觉 SLAM 学习总结,讲解对观测方程中 x x x 该如何优化。欢迎交流

本讲内容概要

  • 李群与李代数的概念, S O ( 3 ) , S E ( 3 ) SO(3),SE(3) SO(3),SE(3) 与对应李代数的表示方法
  • 李代数上的求导方式和意义
  • 使用 Sophus 对李代数进行运算

李群和李代数基础

旋转矩阵自身带有约束(正交且行列式为 1)。作为优化变量,会引入额外的约束,使优化变得困难。而在李代数上可以变成无约束优化。

三维旋转矩阵构成了特殊正交群:
S O ( n ) = { R ∈ R n × n ∣ R R T = I , d e t ( R ) = 1 } SO(n)=\{R∈R^{n×n}|RR^T=I,det(R)=1\} SO(n)={ RRn×nRRT=I,det(R)=1}
三维变换矩阵构成了特殊欧式群:

【视觉SLAM十四讲】李群与李代数_第1张图片

关于什么是群,见《离散数学》。群需要满足的性质为:封闭性、结合律、幺元、逆(凤姐咬你)。群结构保证了群上的运算具有良好的性质。

可以验证,旋转矩阵集合和矩阵乘法构成群,变换矩阵和矩阵乘法构成群。因此称它们为旋转矩阵群和变换矩阵群。

李群

李群是一个连续的群,刚体运动也是连续的,故 S O ( 3 ) , S E ( 3 ) SO(3),SE(3) SO(3),SE(3) 都是李群。 S O ( 3 ) , S E ( 3 ) SO(3),SE(3) SO(3),SE(3) 只有定义良好的乘法却没有加法,即对加法不封闭,无定义,难以取极限和求导。

李代数

李代数的引入

我们通过引入李代数解决旋转矩阵和变换矩阵求导的问题。s一个李群对应一个李代数,记作 s o ( 3 ) , s e ( 3 ) so(3),se(3) so(3),se(3)

对于任意旋转矩阵 R R R,满足:
R R T = I RR^T=I RRT=I
因为李群是连续的群,所以我们还需要考虑 R R R 随时间变化,有:
R ( t ) R ( t ) T = I R(t)R(t)^T=I R(t)R(t)T

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