最优化理论复习--对偶单纯形方法及灵敏度分析

对偶单纯形方法

定义：设 $x^{(0)}$ 是(L)问题的基本解（不一定是可行解（极点）），如果它的对偶问题的解释可行的，则称 $x^{(0)}$ 为原问题的对偶可行基本解
从而衍生出结论：当对偶可行的基本解是原问题的可行解时，由于判别数 $<=0$ ，因此，他就是原问题的最优解。

这样在用单纯形法是就不用保证右端项 $>=0$了， 而是要保证判别数是 $<=0$的

对比：
一般单纯形方法：要保证右端项 $>=0$, 尽量将判别数化为 $<=0$的
对偶单纯形方法：要保证判别数 $<=0$, 尽量将右端项化为 $>=0$的

方法也对称过来了的，步骤变成了先根据最小的右端项$B^{-1}b$ 找出基变量，然后根据 $\frac{c^{B}N-c^N}{y_j}$（比值为正的情况下）最小的检验数比对应系数找入基变量

根据单纯形法最大化问题Max的检验数要都保证 $>=0$

如果初始问题的对偶可行的基本解不易得到，则需要解一个扩充问题，通过这个问题的求解，给出原问题的解答。了解不考（

灵敏度分析

$$f(x)=c_B{B}^{-1}b-(c_B{B}^{-1}N-c_N)x_N$$

	$x_B$	$x_N$	右端
$x_B$	$I_m$	$B^{-1}N$	$B^{-1}b$
f	0	$c_B{B}^{-1}N-c_N$	$c_B{B}^{-1}b$

价值系数$c_k$发生改变

1. 非基变量的价值系数改变
   
   该非基变量下面的判别数$<=0$时最优解不变

2. 基变量的价值系数发生改变
   
   基变量的价值系数改变后，检验数除了基变量的检验数没有改变外，全都改变了，分析时将价值系数换掉重新计算一下

右端向量b发生改变

b改变$\to$基变量的取值发生改变 $\to$ 函数值发生改变
分为

• $B^{-1}{b}^{\prime }>=0$判别数没有发生改变，最优解没有发生改变
• $B^{-1}{b}^{\prime }<0$此时是对偶可行的，将右端项变为$B^{-1}{b}^{\prime }$,目标函数值改为$c_B{B}^{-1}{b}^{\prime }$再使用对偶单纯形方法求解

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问：b在什么范围变化时，最优基不变？
答：当$B^{-1}{b}^{\prime }>=0$是不变

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改变约束矩阵

1. 当发生改变的列不是原来的基矩阵
   那么$B^{-1}$也不发生改变，将最优表的系数左乘$B^{-1}$，就变成了改变之后的系数，而最右端的系数为$B^{-1}b$不发生改变，若检验数小于零，最优基不发生改变
   
2. 当基变量的系数发生了改变，那问题就需要重新计算了

增加新的约束

1. 若原最优解满足新增加的约束，则它仍是新游戏的最优解
2. 若原最优解不满足新增加约束