动态规划算法思想

动态规划（Dynamic Programming，DP，P指的是一种表格法，不是编程，而是一种表格处理方法，把每一步得到的子问题结果存储在表格中，每次遇到该子问题时不需要再求解一遍，只需要查询表格即可），由美国数学家理查德.贝尔曼（richard bellman）发明。

算法原理

动态规划算法的核心就是记住已经解决过的子问题的解。动态规划法建议，与其对交叠的子问题一次又一次地求解，不如对每个较小的子问题只求解一次，并把结果记录在表中。

基本思想与分治法类似，也是将待求的问题分解为若干个子问题，按顺序求子问题的解。但分治法产生的子问题之间相互独立，而动态规划算法产生的子问题之间不是相互独立的，不同的子问题具有公共的子问题（问题由交叠的子问题构成），前一子问题的解，为后一子问题提供有用信息，每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。

动态规划就是将原问题分解为若干子问题，然后自底向上，先求解最小的子问题，把结果存储在表格中，再求解最大的子问题时，直接从表格中查询小的子问题的解，避免重复计算，从而提高算法效率。

首先看一下斐波那契数列的求解过程，python语言实现代码为

def fib(n):

        ifn==0:

               return 0

        ifn==1:

               return 1

       return fib(n-1)+fib(n-2)

print fib(6)

先来分析一下递归分治算法的执行流程，假如输入6，那么执行的递归树如下：

上面的递归树中将fib(6)问题分解为fib(1)—fib(5)众多子问题，有些问题是其他子问题的公共子问题，如fib(2)是fib(4)、fib(3)的公共子问题，但因为所有的子问题都会被执行，这样很多重复的节点（公共子子问题）被执行，如fib(2)被重复执行了5次。由于调用每一个函数的时候都要保留上下文，所以空间上开销也不小。如果在执行的时候把执行过的子节点保存起来，后面要用到的时候直接查表调用的话可以节约大量的时间。动态规划法就是对每个子子问题只求解一次，将其保存在一个表格中，从而无需每次求解一个子问题时都重新计算。

这也就是动态规划的核心，先计算子问题，再由子问题计算父问题。

def fibd(n):

       Mem=[None]*7

       Mem[0]=0

       Mem[1]=1

        for i in range(2,n+1):

               Mem[i]=Mem[i-1]+Mem[i-2]

       return Mem[n]

print fibd(6)

算法使用场景

动态规划法通常用来求解最优化问题，对于一个问题，我们希望寻找到一个最优解，而不是最优解，因为可能有多个解都达到最优解。动态规划适用于两类问题，问题中包含重叠子问题和最优子结构。

所谓重叠子问题，如果递归算法反复求解相同的子问题，就称为具有重叠子问题（overlapping subproblems）性质，先计算子问题的解，再由子问题的解去构造问题的解。由于子问题存在重叠，在动态规划算法中使用（一维或二维）数组来保存子问题的解，这样子问题多次求解的时候可以直接查表不用调用函数递归。如在斐波拉契数列中，可以看到大量的重叠子问题，比如说在求fib（6）的时候，fib（2）被调用了5次。使用递归算法的时候会反复的求解相同的子问题，不停的调用函数，而不是生成新的子问题。

所谓最优子结构（optimal-substructure），如果一个问题的最优解解结构由其子问题的最优解构成，就称此问题具有最优子结构性质。最优解包含了其子问题的最优解，不是合并所有子问题的解，而是找最优的一条解线路，选择部分子最优解来达到最终的最优解。它是使用动态规划的最基本条件。理查德.贝尔曼称其为最优化法则（principle of optimality）。

因此，只要满足最优子结构性质就可以使用动态规划，如果还具有子问题重叠，则更能彰显动态规划的优势。

动态规划法的解题步骤

1、   将原问题分解为子问题（子问题和原问题形式相同，且子问题解求出就会被保存），分析其特征，证明原问题具有最优子结构特征（原问题的最优解包含其子问题的最优解）

2、   建立最优解的递归式（状态转移方程），从上一个状态到下一个状态之间可能存在一些变化，这个变化所表示的表达式, 状态转移方程法有点类似递归的解题思路。我们需要分析，某个问题如何通过子问题来递归求解，写出递归公式，也就是所谓的状态转移方程。

3、自底向上计算最优值，并记录

4、利用计算出的信息，构造一个最优解