数学建模——古代玻璃制品的成分分析与鉴别的设计
摘 要
本文针对不同类别文物样品的相关数据，利用数学模型及分析算法，探求不同玻璃文物中类型、颜色、纹饰、化学成分等数据之间存在的差异与联系，探索古代玻璃文物化学成分之间存在的规律，探究对未知类别玻璃文物进行鉴别的机理。
问题一中，利用卡方检验从玻璃类型、纹饰以及颜色等因素对玻璃文物表面产生风化的原因进行了分析，对风化影响最大的因素是玻璃类型，其次是纹饰和颜色，铅钡玻璃文物易风化，但高钾玻璃类型中B纹饰风化程度也较高；依据玻璃文物类型及有无风化，分为铅钡风化、铅钡无分化、高钾风化、高钾无分化四类，利用可视化分析展示了化学成分含量的分类规律，通过风化前后的化学成分含量的变化，预测其风化前的含量。
问题二中，利用CRITIC权重模型对化学成分进行分析，得出权重最高的几种主要化学成分，并进行K均值聚类分析，将高钾型玻璃分为高铝、高钾钙、高硅；铅钡型玻璃分为高铅、高硅、高钡亚类，并得到各自的文物编号，分类结果符合问题一中的分类规律。进行敏感性分析可得，高钾型玻璃敏感性较低，铅钡型玻璃敏感性较高。
问题三中，首先依据问题一中的分类规律，对所属类型进行了判断，得到了A1、A6、A7为高钾玻璃，A2、A3、A4、A5、A8为铅钡玻璃。为提高鉴别准确度，设表单三中未知类别玻璃文物的主要化学成分为Mj,其中j∈(1,2,3……m)，依据问题二分出的亚类，由主要化学成分构成的聚类中心表示为Ni，其中i∈(1,2,3……m)，计算各聚类中心与待测数值的欧氏距离，以此作为匹配程度，根据欧氏距离最小判断出未知玻璃文物所属的类型。通过改动化学成分含量的比例，再次带入模型，经计算结果一致，分析出模型的敏感性较高。
问题四中，对四种类别根据斯皮尔曼相关系数建立相关性分析模型，得到了四种类别的相关性，以热力图展示各类别化学成分含量的关联关系。并对四种类别中相关性较强的化学成分，针对其含量在各文物之间的变化趋势，逐一检验得到了四种类别之间的关联关系。同时通过热力图的对比，得出四种类别间化学成分含量关联联系的差异性。
关键词：卡方检验、可视化、CRITIC权重模型、相关性分析模型、K均值聚类分析
- 问题重述
- 问题的背景
玻璃是古代中西方早期贸易的物证，玻璃的材质不同，其颜色、纹饰等也均不同，反映出的历史、文化、艺术各有千秋。利用数学模型及统计分析在古代玻璃制品分析与鉴别上进行深入的研究，发掘古代玻璃文物化学成分之间存在的关系与差异，有非常重要的应用价值和实际意义[1]。
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- 具体问题的叙述
通过建立数学模型分析研究下面的问题：
第一问 利用附件中的数据，分析玻璃文物的表面风化与类型、纹饰及颜色之间的关系，同时结合玻璃的类型，对表面有无风化化学成分含量进行分析，研究其规律，根据已知风化点的数据，预测风化前的化学成分含量。
第二问 根据附件数据，分析出玻璃类型的规律，并根据其化学含量更进一步的分类，对其获得结果进行合理性和敏感性进行分析。
第三问 分析题中未知类别玻璃文物的化学成分，进行判断其类型，同时结果的敏感性进行分析。
第四问 对不同类别的玻璃文物样品进行化学成分分析，分析其之间的关联关系，并对其关系的差异性进行比较。
- 问题分析
- 问题一的分析
针对问题一，采用卡方检验对玻璃文物表面风化与其玻璃类型、纹饰、颜色进行差异性分析，根据显著性的大小以此判断之间的关系；将玻璃文物结合类型及有无风化分为四类，进行利用描述性统计，并利用数据可视化展示四种类型化学成分含量均值，得到四种类别化学成分含量的统计规律。
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- 问题二的分析
针对问题二，利用CRITIC权重模型分析出主要影响高钾玻璃、铅钡玻璃的分类规律的化学成分，对其进行K均值聚类分析，通过迭代，将样本分到 K 个亚类别之中，使得每个玻璃文物与其所属类的中心或均值的距离之和最小，从而得到结果。
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- 问题三的分析
针对问题三中，按照未知类别玻璃文物的化学成分按照风化、无风化两种类型进行分析，根据问题一的统计学规律，对所学类型先进行预判断。为提高鉴别准确度，采用聚类模型，计算各个类别种类中心距离待测数值的欧氏距离，以此作为匹配程度，则可根据欧氏距离最小判断出未知玻璃制品所属的类型，其结果一致。通过改动化学成分含量的比例，再次带入模型，经计算结果一致，分析出模型的敏感性较高。
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- 问题四的分析
针对问题四，对古代玻璃文物按照类别分为高钾风化型、高钾无风化型、铅钡风化型与铅钡无风化型，采用建立斯皮尔曼相关系数建立相关性分析模型，得到相关系数，利用热力图展示出各类别中化学成分之间的关联联系，从中得出不同类别中化学成分关联联系的差异性。
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