数值分析-常微分方程初值问题数值解法

问题

一阶常微分方程的初值问题:
$y^{{}^{\prime }}=f(x,y)$
$y(x_0)=y_0$
定理一
设f在区域$D=(x,y)|a\le x\le b,y\in R$上连续，关于y满足$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2|,\forall x_0\in [a,b],y_0\in R$（这条件叫做Lipschitz条件）常微分方程的初值问题存在唯一的连续可微解$y(x)$

一、一阶常微分方程初值问题的有限差分方法与误差分析

只有一些特殊的常微分方程能求解析解，实际问题中主要靠数值解，所谓数值解法，就是寻求解y(x)在一系列离散节点$x_0<x_1<x_2......$上的近似值$y_0,y_1,y_2......$
整体截断误差
$g_i=|y_i-y(x_i)|$
其中$y(x_i)$就是我们的精确解，$y_i$就是给定计算格式（迭代公式，初值是精确值）之后所计算出来的数值解。
局部截断误差
$e_i=|y(x_{i+1})-w_{i+1}|$
其中$w_{i+1}$是 初值为$y(x_i)$ 时迭代出的数值解
对于某种方法，局部截断误差满足$e_i=O(h^{p+1})$，则称该方法具有p阶精度。

二、向前Euler法及误差分析

1.向前Euler法

先设步长相等，大小为h,对常微分方程$y^{{}^{\prime }}=f(x,y)$中的倒数用均差近似，即
$\frac{y(x_{i+1})-y(x_i)}{h}\approx y^{{}^{\prime }}=f(x_i,y(x_i))$
若初值已知，利用迭代格式
$$\{\begin{array}{l}{y}_0=y(x_0)\\ y_{i+1}=y_i+hf(x_i,y_i)\end{array}$$
可逐次算出$y_1,y_2.....$

2.误差分析

对于精确值做泰勒展开式
$y(x_{i+1})=y(x_i)+h{y}^{{}^{\prime }}(x_i)+\frac{h^2}{2}{y}^{{}^{\prime \prime }}(c)$其中$c\in (x_i,x_{i+1})$，其中$y^{{}^{\prime }}(x_i)=f(x_i,y(x_i))$
对于欧拉法的迭代格式，由局部截断误差定义可得
$y_{i+1}=y(x_i)+h{y}^{{}^{\prime }}(x_i)$
局部截断误差$$e_i=\frac{h^2}{2}{y}^{{}^{\prime \prime }}(c)$$

3.后退Euler法

通过利用均差近似倒数$y^{{}^{\prime }}(x_{i+1})$即

$\frac{y(x_{i+1})-y(x_i)}{h}\approx y^{{}^{\prime }}(x_{i+1})=f(x_{i+1},y(x_{i+1}))$
因此后退欧拉法的递推公式为
$y_{i+1}=y_i+hf(x_{i+1},y_{i+1})$（1式）

相比欧拉法，后退欧拉法的递推公式并不能直接进行计算，而需要解方程，即此公式是隐式的，而欧拉法的递推公式是可以直接计算的，即为显式的。隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实质是逐步隐式化。
$$\{\begin{array}{l}{y}_{i+1}^0=y_i+hf(x_i,y_i)\\ y_{i+1}^1=y_i+hf(x_i,y_{i+1}^0)\\ ......\\ y_{i+1}^{k+1}=y_i+hf(x_i,y_{i+1}^k)（2式）\end{array}$$
由于f(x,y)满足Lipschitz条件，利用（1）式减去（2）式得到
$|y_{i+1}^{k+1}-y_{i+1}|=h(f(x_i,y_{i+1}^k)-hf(x_{i+1},y_{i+1}))\le hL|y_{i+1}^k-y_{i+1}|$
若$hL<1$则迭代法收敛到解$y_{i+1}$。

三、改进欧拉公式

补充：梯形方法
$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}(f(x_{i+1},y_{i+1})+f(x_i,y_i))$

先用欧拉法求得一个初步的近似值${\overline{y}}_{i+1}$，称为预报值，然后用它替代梯形法右端的$y_{i+1}$，得到左端校正值$y_{i+1}$,可以校正n次，但是改进欧拉法中，我们只校正一次，这样建立的预报-校正系统称为改进的欧拉格式:
$$\{\begin{array}{l}{\overline{y}}_{i+1}=y_i+hf(x_i,y_i)\\ y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}(f(x_{i+1},{\overline{y}}_{i+1})+f(x_i,y_i))\end{array}$$
也可以写成下面一个形式：
$$\{\begin{array}{l}{y}_p=y_n+hf(x_n,y_n)\\ y_c=y_n+hf(x_n,y_p)\\ y_{n+1}=\frac{1}{2}(y_p+y_c)\end{array}$$

四、单步法局部截断误差与阶

初值问题$y^{{}^{\prime }}=f(x,y)$，$y(x_0)=y_0$的单步法可用一般形式表示为
$y_{n+1}=y_n+h\phi (x_n，y_n，y_{n+1}，h)$
其中$\phi (x_n，y_n，y_{n+1}，h)$称为增量函数
显式单步法的表示形式
$y_{n+1}=y_n+h\phi (x_n，y_n，h)$
例如：对欧拉法$\phi (x_n，y_n，h)=f(x,y)$
对于显式单步法的局部截断误差
$T_{n+1}=y(x_{n+1})-y(x_n)-h\phi (x_n，y(x_n)，h)$

五、龙格—库塔方法

1.定义

对于方程$y^{{}^{\prime }}=f(x,y)$的等价积分形式

$y(x_{n+1})-y(x_n)={\int }_{x_n}^{x_{n+1}}f(x,y(x))dx$

方程右端可用求积公式表示为
${\int }_{x_n}^{x_{n+1}}f(x,y(x))dx\approx h{\sum }_{i=1}^r{c}_{i}f(x_n+{\lambda }_{i}h,y(x_n+{\lambda }_{i}h))$
一般来说点数r越多精度越高，上式右端相当于增量函数$\phi (x_n，y_n，h)$，为了得到便于计算的显示方法，将公式表示为
$y_{n+1}=y_n+h\phi (x_n,y_n,h)$
其中
$\phi (x_n,y_n,h)={\sum }_{i=1}^n{c}_i{K}_i$
$K_1=f(x_n,y_n)$
$K_2=f(x_n+{\lambda }_{2}h,y_n+h{u}_{21}{K}_1)，{\lambda }_2=h$
…
$K_i=f(x_n+{\lambda }_{i}h,y_n+h\times {\sum }_{j=1}^{i-1}{u}_{ij}{K}_j)，{\lambda }_i={\sum }_{j=1}^{i-1}{u}_{ij}$
将此方法称为龙格库r级塔显示方法

2.常用的龙格库塔方法

常用二阶显式龙格库塔方法
$y_{n+1}=y_n+h{K}_2$
$K_1=f(x_n,y_n)$
$K_2=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{K}_1)$
常用三阶
$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(K_1+c2K_2)$
$K_1=f(x_n,y_n)$
$K_2=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{K}_1)$
$K_3=f(x_n+h,y_n-h{K}_1+2h{K}_2)$
常用四阶（记下来，要考，哈哈哈,matlab计算内核所在）
$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(K_1+2K_2+2K_3+K_4)$
$K_1=f(x_n,y_n)$
$K_2=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{K}_1)$
$K_3=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{K}_2)$
$K_4=f(x_n+h,y_n+h{K}_3)$

六、单步法的收敛性与稳定性

1.收敛性与相容性

定义：若一种数值方法（如单步法）对于固定的$x_n=x_0+nh$,当$h\to 0$ ，有$y_n=y(x_n)$,则称该方法收敛。
定理：假设单步法具有p阶精度，且增量函数$\phi (x，y，h)$满足利普希茨条件
$|\phi (x，y，h)-\phi (x，\overline{y}，h)|\le L_{\phi }|y-\overline{y}|$
又设初值准确，则其整体截断误差
$y(x_n)-y_n=O(h^p)$
定义：若单步法$y_{n+1}=y_n+h\phi (x_n,y_n,h)$的增量函数满足$\phi (x,y,0)=f(x,y)$，则称单步法与初值问题相容（前述的单步法是用了泰勒展开式略去高阶项近似，有用求积公式离散得到的数值方法，相容性指数值方法逼近微分方程，在$h\to 0$时，可得到$y^{{}^{\prime }}(x)=f(x,y)$）

2.绝对稳定性与绝对稳定域

定义：若一种数值方法在节点值$y_n$上大小扰动为$\delta$，于以后的节点值$y_m(m>n)$上产生的偏差均不超过$\delta$，则称该方法是稳定的
定义：对于模型方程$y^{{}^{\prime }}=\lambda y$,使用单步法解模型方程$y_{n+1}=E(\lambda h)y_n$，若得到$|E(h\lambda )|<1$，则称该方法是绝对稳定的（以此可以来确定步长）。
常用：对于四阶龙格库塔方法:$-2.78<h\lambda <0$,即$0<h<-2.78/\lambda$