[计算机数值分析]牛顿法求解方程的根

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对于方程

$$f(x)=0$$

设已知它的近似根 $x_k$，则函数 $f(x)$ 在点 $x_k$ 附近可用一阶泰勒多项式

$$p(x)=f(x_k)+f^{\prime }(x_k)(x-x_k)$$

来近似，因此方程 $f(x)=0$ 可近似的表为 $p(x)=0$。后者是一个线性方程，它的求根容易的，我们取 $p(x)=0$ 的根作为 $f(x)=0$ 的新的近似根，记作 $x_{k+1}$，则有

$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$$

这就是著名的牛顿公式，相应的迭代函数是

$$\phi (x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}$$

例：用牛顿法求解方程 $2x^3-4x^2+3x-6=0$。

解：设函数 $f(x)=2x^3-4x^2+3x-6$，则 $f^{\prime }(x)=6x^2-8x+3$，从而有迭代函数 $\phi (x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}$，即

$$\phi (x)=x-\frac{2x^3-4x^2+3x-6}{6x^2-8x+3}$$

运行示例：

程序源码：

#include 
#include 

using namespace std;

/**
 * 原函数 f(x)
 */
double f(double x)
{
    return 2 * pow(x, 3) - 4 * pow(x, 2) + 3 * x - 6;
}

/**
 * 导函数 f1(x) = f'(x)，即 f(x) 的一阶导数
 */
double f1(double x)
{
    return 6 * pow(x, 2) - 8 * x + 3;
}

int main(void)
{

    double x0;
    cout << "请输入迭代初值:";
    cin >> x0;

    double accuracy;
    cout << "请输入精度:";
    cin >> accuracy;

    int N;
    cout << "请输入最大迭代次数:";
    cin >> N;

    double x1;
    int count = 0;
    do
    {
        if (f1(x0) == 0)
        {
            cout << "在 x0 附近 f(x) 的一阶导数值为 0，不适用牛顿法求方程的根!" << endl;
            break;
        }

        x1 = x0 - f(x0) / f1(x0);
        cout << "第 " << ++count << " 次迭代，方程的近似根为:" << x1 << endl;

        double temp = x1;
        x1 = x0;
        x0 = temp;

        if (count > N)
        {
            cout << "达到允许的最大迭代次数！迭代结束！" << endl;
            break;
        }
    } while ((abs(x1 - x0) > accuracy));

    return 0;
}