线性代数基础零碎知识点整理——矩阵、行列式

本篇文章主要对线性代数的基础内容——矩阵、行列式、线性方程组、线性空间等内容进行整理，水平有限仅供参考。

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1. 分块矩阵以及其运算性质

分块矩阵即将原矩阵按行(或列)进行分块，使得原方程的表示更为简洁，并且有助于简化运算。

1. 加法及数乘

• 条件：对于矩阵$A$，$B$，保证其分块方式相同
• 加法性质 $$A+B=[A_{ij}+B_{ij}]$$
• 数乘性质 $$kA=[k{A}_{ij}]$$

2. 转置(permutation)

若对于矩阵$A$有
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1n}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]$$则
$$A^T=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}^T& A_{21}^T& \cdots & A_{n1}^T\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}^T\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}^T& A_{2n}^T& \cdots & A_{nn}^T\end{array}\right]$$

3. 分块矩阵乘法

• 条件：矩阵$A$对列的分法（相当于在不同间隔的列之间插入“竖线段”）与矩阵$B$对行的分法（相当于在不同间隔的行之间插入“横线段”）
• 若
  $$A=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1t}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2t}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{t1}& A_{t2}& \cdots & A_{tt}\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cccc}{B}_{11}& B_{12}& \cdots & B_{1p}\\ B_{21}& B_{22}& \cdots & B_{2p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ B_{p1}& B_{p2}& \cdots & B_{pp}\end{array}\right]$$则
  $$AB=\left[\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{12}& \cdots & C_{1n}\\ C_{21}& C_{22}& \cdots & C_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ C_{n1}& C_{n2}& \cdots & C_{nn}\end{array}\right]$$
  其中 $C_{ij}=A_{i1}{B}_{i1}+A_{i2}{B}_{i2}+...+A_{it}{B}_{ij}$

4. 分块求逆

若$$A=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(A_1,A_2,...,A_s)$$则$$A^{-1}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(A_1^{-1},A_2^{-1},...,A_n^{-1})$$
对于次对角矩阵
$$A=\left[\begin{array}{cccc}O& \cdots & O& A_1\\ O& \cdots & A_2& O\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ A_s& \cdots & O& O\end{array}\right]$$则有
$$A^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}O& O& \cdots & A_s^{-1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ O& A_2^{-1}& \cdots & O\\ A_1^{-1}& O& \cdots & O\end{array}\right]$$

2. 对角矩阵的一些性质

设$A=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(A_1,A_2,...,A_s)$, $B=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(B_1,B_2,...,B_s)$, 则有

1. $AB=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(A_1{B}_1,A_2{B}_2,...,A_s{B}_s)$
2. $A^m=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(A_1^m,A_2^m,...,A_s^m)$
3. $|A|=|A_1||A_2|\cdots |A_s|$
4. $A^{-1}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(A_1^{-1},A_2^{-1},...,A_n^{-1})$

3. 可逆矩阵(Invertable matrix)

$Def:$ 对于矩阵$A$，若存在一个矩阵$A^{-1}$，使得
$$A{A}^{-1}=A^{-1}A=E$$
则称$A$为可逆矩阵，$A^{-1}$为A的逆矩阵

• 关于定义可以得知的事实：逆矩阵的逆为原矩阵，地位可以交换。并且可逆矩阵必为方阵。而且矩阵的逆矩阵必定是唯一的。

求逆矩阵的方法、判断可逆的方法

定理 \quad 设$A$为$n(n>1)$ 阶方阵，则$A$可逆的充分必要条件是$|A|\ne 0$，并且当$A$可逆时，其逆矩阵为
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$

可逆矩阵具有的一些性质

1. $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$
2. $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$
3. $(kA{)}^{-1}=k^{-1}{A}^{-1}$
4. $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
5. 对于初等矩阵，有$E[i(k){]}^{-1}=E[i(k^{-1})]$, $E[i+j(k){]}^{-1}=E[i+j(-k)]$, $E[i,j{]}^{-1}=E[i,j]$

4. 关于可交换性(switchable)

当矩阵$A$与$B$满足可交换性时，则必有

• $(AB{)}^k=A^k{B}^k$
• $(A+B{)}^k$ 满足二项式定理