拉普拉斯矩阵（Laplacian matrix）及其变体详解

 　　拉普拉斯矩阵(Laplacian matrix) 也叫做导纳矩阵、基尔霍夫矩阵或离散拉普拉斯算子，是图论中用于表示图的一种重要矩阵。

定义

 　　给定一个具有$n$个顶点的简单图$G=(V,E)$，$V$为顶点集合，$E$为边集合，其拉普拉斯矩阵可定义为：
$$L=D-A$$其中$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$为邻接矩阵(adjacency matrix)，$D\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$为度矩阵(degree matrix)。
 　　注意，$A$中的元素仅仅可能是 0 和 1，且其对角元素全为 0。$D$是一个对角矩阵，其对角线上的元素计算方式为$D_{ii}={\sum }_j{A}_{ij}$。
 　　进一步地，$L$的每个元素值的具体计算方式如下所示：
$$L_{ij}=\{\begin{array}{ll}{D}_{ii}& \text{ if }i=j\\ -1& \text{ if }i\ne j\text{ and }{v}_i\text{ is adjacent to }{v}_j\\ 0& \text{ otherwise }\end{array}$$

示例

 　　给定一个简单的图$G=(V,E)$，其示意图如下所示（例子来自wiki百科）：

根据该示意图，可以获得$G$对应的邻接矩阵$A$，如下所示：
$$A=\left(\begin{array}{llllll}0& 1& 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$$
根据度矩阵的计算方式，可以获得$G$对应的度矩阵$D$，如下所示：
$$D=\left(\begin{array}{llllll}2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 3& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 3& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
根据拉普拉斯矩阵的定义$L=D-A$，可以获得$G$对应的拉普拉斯矩阵$L$，如下所示：
$$L=\left(\begin{array}{rrrrrr}2& -1& 0& 0& -1& 0\\ -1& 3& -1& 0& -1& 0\\ 0& -1& 2& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 3& -1& -1\\ -1& -1& 0& -1& 3& 0\\ 0& 0& 0& -1& 0& 1\end{array}\right)$$显然，拉普拉斯矩阵都是对称的。

性质

1. 拉普拉斯矩阵是半正定矩阵；
2. 特征值中0出现的次数就是图连通区域的个数；
3. 最小特征值是0，因为拉普拉斯矩阵每一行的和均为0；
4. 最小非零特征值是图的代数连通度。

变体

 　　除了最普通的拉普拉斯矩阵形式$L=D-A$外，还具有多种常见的形式，如Symmetric normalized Laplacian和Random walk normalized Laplacian。
 　　Symmetric normalized Laplacian的定义如下：
$$L^{sn}=D^{-\frac{1}{2}}L{D}^{-\frac{1}{2}}=I-D^{-\frac{1}{2}}A{D}^{-\frac{1}{2}}$$$$L_{ij}^{sn}=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }i=j\text{ and }{D}_{ii}\ne 0\\ -\frac{1}{\sqrt{D_{ii}{D}_{jj}}}& \text{ if }i\ne j\text{ and }{v}_i\text{ is adjacent to }{v}_j\\ 0& \text{ otherwise }\end{array}$$
 　　Random walk normalized Laplacian的定义如下：
$$L^{rw}=D^{-1}L=I-D^{-1}A$$$$L_{ij}^{rw}=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }i=j\text{ and }{D}_{ii}\ne 0\\ -\frac{1}{D_{ii}}& \text{ if }i\ne j\text{ and }{v}_i\text{ is adjacent to }{v}_j\\ 0& \text{ otherwise }\end{array}$$

本文参考资料

1. 图拉普拉斯–百度百科
2. 拉普拉斯矩阵–简书
3. 拉普拉斯矩阵（Laplacian matrix）–简书

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