微积分(一) 函数的极限

前言

微积分“以直代曲”的思想就是将整体非线性化为局部线性的一个经典的例子，尽管高等数学在定义微分时并没有用到一点线性代数的内容。许多非线性问题的处理――譬如流形、微分几何等，最后往往转化为线性问题。

函数

定义：设$x$ 和 $y$是两个变量,$D$是一个给定的数集。如果对每个数 $x\in D$ ，变量 $y$按照一定的法则总有确定的数值与之对应，则称$y$是$x$ 的函数，记作 $y=f(x)$。

• $x$叫自变量
• $y$叫因变量
• 数集$D$叫做定义域
• 数集$W=\{y|y=f(x),x\in D\}$叫做函数的值域

函数的2个要素：定义域、对应关系(法则)

函数的特性

初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数；由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成的可用于一个式子表示的函数成为初等函数。

复合函数

函数的极限

那么这个描述性定义怎么精确化，给出函数极限的精确定义呢？

即 存在正整数$\delta$,满足$0<|x-x_0|<\delta$

如图：我们需要知道当 $x\to x_0$， $f(x)$趋近于某个常数时， $x$可以从左侧趋近于 $x_0$ ，也可以从右侧趋近于 $x_0$，所以我们有必要讨论一下函数 $f(x)$的单侧极限的定义：

函数极限的性质

• 唯一性：如果 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在，那么它的极限唯一.

• 局部有界性:

• 局部保号性：

理解局部的意思，即证明一定 存在的这样子的情况就行，$\epsilon$可取任意值都行

自变量趋近于无穷大时函数的极限

首先我们先搞清楚如下两个问题：

1. $x$趋近于无穷大： $x\to \infty$,指$|x|$ 无限增大。
2. $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$,指$|x|$ 无限增大,$f(x)$ 无限接近于 $A$

同样，自变量趋近于无穷大时函数的单侧极限定义如下：

无穷大与无穷小

前面都是对自变量$x$的限制，无穷大无穷小是对因变量$y$的限制。

无穷小

无穷小是 0为极限的函数，不能混同于一个很小的数。当然函数 $f(x)=0$，在 $x\to 0$时，也是以 0为极限的函数，所以我们说
0是一个特殊的无穷小。

无穷小与函数极限的关系

无穷小性质

1. 有限个无穷小的和是无穷小
2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
3. 常数与无穷小的乘积是无穷小
4. 有限个无穷小的乘积是无穷小

无穷大

如果在定义中，把 $|f(x)|>M$改成 $f(x)>M$（或$f(x)<-M$)，则可给出正无穷大${\infty }^{+}$和负无穷大${\infty }^{-}$

无穷大和无穷小的关系

极限的运算法则

对于$x\to x_0或x\to \infty$都满足

以法则二的证明为例

极限存在准则

• 准则1:夹逼准则（放缩思想）
• 准则2：单调有界数列必有极限(收敛必有界，有界不一定收敛)

重要极限

无穷小阶的比较

在极限的运算法则中,两个无穷小的和、差、乘积仍旧是无穷小，但是关于两个无穷小的商却声明了$B\ne 0$,假如为0

两个无穷小之比的极限反映了出不同的无穷小趋近于零的“快慢”程度。

函数的连续性

我们用 $\epsilon -\delta$语言来描述

函数的单侧连续概念

• 
• 

函数的间断点

间断点的分类:

连续函数的运算与性质

初等函数的连续性

闭区间上连续函数的性质

函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$内连续，在右端点 $b$左连续，在左端点$a$ 右连续，那么函数$f(x)$ 就是在闭区间 $[a,b]$上连续的.其性质

1. 有界与最值定理

2. 介值定理

3. 零点存在定理,即“介值定理”中C=0

主要参考

《第一讲 函数与初等函数》
《第四讲 函数的极限》
《高数笔记2 —— 函数的极限》
《第五讲 无穷大和无穷小》
《第六讲 极限的运算法则》
《极限存在准则 两个重要极限》
《第八讲 无穷小阶的比较》
《第九讲 函数的连续性与函数的间断点》
《【高等数学】函数的连续性和间断点》