麦克斯韦方程组的理解

1. 理想麦克斯韦方程组（微分形式）

$$\{\begin{array}{l}\nabla \cdot D={\rho }_e\\ \nabla \cdot B={\rho }_m\\ \nabla \times H=\frac{\partial D}{\partial t}\\ \nabla \times E=-\frac{\partial B}{\partial t}\end{array}$$
其中$D$为电感应强度，${\rho }_e$电荷密度，$B$为磁感应强度，${\rho }_m$磁荷密度，$H$为磁场强度，$E$为电场强度。磁场强度和电场强度与材质无关，磁感应强度和磁场强度与材质有光，磁感应强度与磁场强度存在磁导率的比例关系，电感应强度和电感强度存在电容率的比例关系。如下式所示
$$\{\begin{array}{l}B=\mu H\\ D=\epsilon E\end{array}$$
需要注意磁导率和电容率在某些情况下不一定是常数，与磁场变化、电场的大小、方向、变化率和变化方向有关系，这些都是材质特性。

对理想麦克斯韦方程组的理解

1. 电感应强度的散度为空间中的电荷密度，对于无电荷空间，电荷密度为0；
   $$\nabla \cdot D=0$$
2. 磁感应强度的散度为空间中的磁荷密度，目前科学界为发现磁荷，因此磁荷密度都是0；
   $$\nabla \cdot B=0$$
3. 磁场强度的旋度为电感应强度的变化率；对于存在电流的情况时，电流密度也是电感应强度的变化率（后续有证明）
   $$\nabla \times H=j_e+\frac{\partial D}{\partial t}$$
4. 电场强度的旋度为磁感应强度的反向变化率；对于存在磁流的情况，磁流密度也是磁感应强度的变化率（目前没有发现有磁荷，磁流也只是假定）
   $$\nabla \times E=-j_m-\frac{\partial B}{\partial t}$$
5. 电磁波的基础原理，从第3个和第4个方程的正负号可以看出，与正弦函数和余弦函数很类似
   $$\{\begin{array}{l}si{n}^{\prime }(t)=cos(t)\\ co{s}^{\prime }(t)=-sin(t)\end{array}$$

2. 积分形式的麦克斯韦方程组

2.1 高斯定理(散度定理)

在闭曲面的空间内对矢量场的散度进行体积分与在该闭曲面上对矢量场进行面积分相等，用方程表示为
$$\iint fdS=\iiint \nabla \cdot fdV$$
其中$S$是$V$的边界曲面，方向向外。
对麦克斯韦第1个方程的两边进行体积积分
$$\iiint \nabla \cdot DdV=\iiint q_{e}dV$$
左边根据高斯定理
$$\iiint \nabla \cdot DdV=\iint DdS$$
右边即是总电荷$Q_e$，所以
$$\iint DdS=Q_e$$
该式也是库伦定理的积分形式

2.2 斯托克斯定理（旋度定理）

在闭曲线的曲面内对矢量场的旋度进行面积分与在该闭曲线上对矢量场进行线积分相等，用方程表示为
$$\iint \nabla \times fdS=\oint fdl$$
其中曲线$l$是曲面$S$的边界，$S$的方向为$l$右手定则方向。
对麦克斯韦的第3个方程的两边进行面积分
$$\iint \nabla \times HdS=\iint \frac{\partial D}{\partial t}dS$$
左边根据斯托克斯定理得
$$\iint \nabla \times HdS=\oint Hdl=F$$
其中$F$为磁动势，为磁场强度在曲线上的积分
右边进一步化简
$$\iint \frac{\partial D}{\partial t}dS=\frac{\partial \iint DdS}{\partial t}=N\frac{\partial {\Phi }_e}{\partial t}=NI$$
所以麦克斯韦的第3个方程积分可得
$$\oint Hdl=\iint \frac{\partial D}{\partial t}dS$$
或
$$F=NI$$
这也就是安倍定律
同样道理，对第4方程进行面积分
$$\iint \nabla \times EdS=-\iint \frac{\partial B}{\partial t}dS$$
左边为
$$\iint \nabla \times EdS=\oint Edl=U$$
其中$U$为电动势
右边为
$$\iint \frac{\partial B}{\partial t}dS=\frac{\partial \iint BdS}{\partial t}=N\frac{\partial {\Phi }_m}{\partial t}$$
所以麦克斯韦的第4个方程积分可得
$$\oint Edl=-\iint \frac{\partial B}{\partial t}dS$$
或
$$U=-\frac{\partial {\Phi }_m}{\partial t}$$
这也是法拉第电磁感应定律

电流密度也是电感应强度得变化率推导

1. 电感应强度的通量变化率为电流，即
   $$I=\frac{\partial {\Phi }_e}{\partial t}$$
   其中
   $${\Phi }_e=\iint DdS$$
2. 电流密度为电流在某一面的微分
   $$I=\iint jdS$$

所以
$$\iint jdS=I=\frac{\partial {\Phi }_e}{\partial t}=\frac{\partial \iint DdS}{\partial t}=\iint \frac{\partial D}{\partial t}dS$$
所以
$$j=\frac{\partial D}{\partial t}$$
需要注意的是，在闭合曲面，对电感应强度进行积分得到的是闭合曲面内的电荷量，在非闭合曲面，对电感应强度进行积分得到的是电感应强度的通量