Exp的组合意义与Euler变换

$Exp$的组合意义与$Euler$变换

$Exp$的组合意义

根据泰勒展开,$\exp (f(X))={\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{f^i(X)}{i!}$

设$F(X)=\exp (f(X))$

注意$f_0=0$

组合意义

$f$表示集合内部的分配方案数关于集合大小的EGF,$F$表示有标号小球分为若干个不能为空的无标号集合的总方案数关于小球总数的EGF

简单的证明

设$G_{n,m}$为将$m$个有标号元素分为$n$个无标号集合的总方案数,$g_n$为大小为$i$的集合内部的方案数

$$G_{n,m}=\sum _{i=1}^{m-n+1}{C}_m^i{G}_{n-1,m-i}\times g_i\times \frac{1}{n!}$$

$$=\sum _{i=0}^m{C}_m^i{G}_{n-1,m-i}{g}_i\times \frac{1}{n!}$$

$$=\sum _{i=0}^{m}m!\times \frac{G_{n-1,m-i}}{(m-i)!}\times \frac{g_i}{i!}\times \frac{1}{n!}$$

对$G_n,g$分别构造$EGF$,设为$F_n,f$

$$F_n=\frac{1}{n!}{F}_{n-1}\times f$$

$$=\frac{f^n}{n!}$$

$$=\exp f$$

$Euler$变换

将$Exp$的组合意义中的有标号元素换成无标号元素就得到了$Euler$变换

$$euler(F(X))=\prod _i\frac{1}{(1-x^i{)}^{f_i}}$$

大小为$i$的每种内部方案都可以选若干个,每种内部方案的$OGF$都为$\frac{1}{(1-x^i)}$

优化

设$G(x)=euler(F(x))$

两边取$\ln$

$$\ln G(x)=-\sum _i{f}_i\ln (1-x^i)$$

根据傅公主的背包中的套路,两边求导

$$\frac{G^{\prime }(x)}{G(x)}=-\sum _i{f}_i\frac{-i{x}^{i-1}}{1-x^i}$$

$$=\sum _i{f}_{i}i{x}^{i-1}\sum _{j=0}^{\infty }{x}^{ij}$$

$$=\sum _{i=0}^{\infty }{f}_i\sum _{j=0}^{\infty }i{x}^{i(j+1)-1}$$

$$=\sum _{i=0}^{\infty }{f}_i\sum _{j=1}^{\infty }i{x}^{ij-1}$$

再积分回来

$$\ln G(x)=\sum _{i=0}^{\infty }{f}_i\sum _{j=1}^{\infty }\frac{i{x}^{ij}}{ij}$$

$$=\sum _{i=0}^{\infty }{f}_i\sum _{j=1}^{\infty }\frac{x^{ij}}{j}$$

交换求和顺序

$$=\sum _{j=1}^{\infty }\frac{1}{j}\sum _{i=0}^{\infty }{f}_i(x^j{)}^i$$

$$=\sum _{j=1}^{\infty }\frac{F(x^j)}{j}$$

再$Exp$回来

$$G(x)=\exp (\sum _{i=1}\frac{F(x^i)}{i})$$