斜率优化与 WQS 二分：从入门到人门

文章同步发表于我的 洛谷博客。

一、前置知识

1.1 二分答案

若一个函数 $f(x)$ 具有单调性，且自变量的定义域为 $x\in [l,r]$，则必然存在以下分界点 $P$，使得：

$$\{\begin{array}{l}\forall x\in [l,P],f(x)=\mathrm{true}\\ \forall x\in (P,r],f(x)=\mathrm{false}\end{array}$$

因此，对于区间 $[l,r]$，中点为 $mid=\frac{l+r}{2}$，若 $f(mid)=\mathrm{true}$, 则 $\forall x\in [l,mid],f(x)=\mathrm{true}$，最优决策点必然在 $mid$ 右侧，即可令 $l\leftarrow mid+1$（在整数域上的二分，实数域则 $l\leftarrow mid$）。

这样，整体复杂度为 $O(times\times check)$，$times$ 表示二分次数，通常为 $\log n$，而 $check$ 为单次判定的复杂度。

inline int Binary(int l,int r){
   //整数域的二分 
	int res=0;
	while(l<=r){
   
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)) res=mid,l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	return res;
}

inline double Binary_R(double l,double r){
   //实数域二分 
	double res=0;
	while(r-l>=eps){
   
		double mid=(l+r)/2.0;
		if(check(mid)) res=l=mid;
		else r=mid;
	}
	return res;
}

1.2 单调队列

顾名思义，单调队列是一种内部元素单调的特殊双端队列，常用于定长的区间最值问题。

例题：P1886 滑动窗口。

这里就不展开讲了，因为斜率优化会大量基于单调队列来实现。

1.3 斜率

在初中数学中，大家都应该学习过。对于平面内两点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，其联结所得的直线的斜率为 $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$。

二、斜率优化

2.1 引入

有一类的动态规划，其状态转移方程具有以下的特性：$f_i=\min \{f_j-a_i\times b_j\}$，即同时具有含有 $i,j$ 的项 $a_i,b_j$。此时，单纯地单调队列优化 DP 就无法使用，而暴力枚举的复杂度是 $O(n^2)$。

那么，有没有更优的方法，甚至做到 $O(n)$ 的呢？

2.2 斜率优化 DP

斜率优化的标志通常是（个人总结）：

1. 状态通常是一维（当然也可能会出现二维）。

2. 状态转移方程出现 $a_i\times b_j$ 的项（这就排除了单调队列优化 DP 的可能）。

3. $n\le 10^6$，即算法复杂度是 $O(n)$。

在这种情况下，就可以往斜优的方向想了。斜优的方法通常是：对于直线解析式 $y=kx+b$，将只关于 $i$ 的部分看作定值 $b$，将只关于 $j$ 的部分看作因变量 $y$，将 $a_i\times b_j$ 的项看作 $kx$，其中 $i$ 对应 $k$，$j$ 对应 $x$。

这样，平面内的点 $(x,y)$ 只与 $j$ 有关，且只有因变量 $y$ 包含 $f_j$，因此 $(x,y)$ 即对应可能的决策点；$k,b$ 与 $i$ 有关，且仅有 $b$ 包含 $f_i$，因此最优化 $b$。

例如上述的状态转移方程，将 $\min$ 去掉得：

$$f_i$$