学号：17020150056 姓名：张伟航
【嵌牛导读】随着互联网技术的飞速发展，对于图像/视频数据的存储、传输等实际应用的需求也不断扩增。今天来简单介绍一下近期调研学习的，基于小波和分形相结合的压缩算法。
【嵌牛鼻子】图像压缩 压缩感知 小波变换 分形压缩
【嵌牛正文】
一． 压缩感知理论与小波变换
1.1 压缩感知理论
奈奎斯特采样定律表明，等间距采样时，必须满足采样频率是信号最高频率的两倍。然而压缩感知则是基于非等间距采样提出的理论，通过随机的亚采样，仍然可以恢复出原信号。用一句话来概括的话就是，如果一个信号在某个变换域是稀疏的，那么就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上，然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号。
压缩感知理论主要包括三部分：信号的稀疏表示；设计测量矩阵，设计信号恢复算法。然而通常信号不会呈现出完全的稀疏性，因此需要进行变换，变换到其他域。例如JPEG就是将信号进行离散余弦变换，而JPEG2000则是对信号进行离散小波变换。采用变换形式的不同，图像的压缩效率自然存在一定的差距，其中JPEG2000的压缩效果明显高于JPEG。
1.2 小波变换
小波变换（wavelet transform，WT）是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，能对时间（空间）频率的局部化分析，通过伸缩平移运算对信号（函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。
二． 分形图像压缩理论
分形压缩 (Fractal Compression)又名碎形压缩，是一种有损数据压缩（失真压缩）的方法，是一种以碎形为基础的图像压缩，适用于纹理及一些自然影像。分形图像编码最先是由Barnsley和Jacquin提出并发展起来的。分形图像压缩的本质州是现实中图像具有高度的仿射冗余度，即图像中含有许多自我参考物，有许多部分是自相似的，图像的各个区域可以通过适当的变换而相互表达。基于分形的图像压缩编码能够在较高的压缩比上保持良好的重构图像质量，但是也存在着计算复杂度高和编解码时间长的缺点，这限制了它的实际应用范围。因此，我们需要考虑如何在保证重构图像质量的前提卜实现快速编码，这也是分形图像编码的一个重要研究课题。目前，国内外已有大量的研究人员对此进行了深入研究，并相继提出了许多改进和创新的方案。
三．基于小波和分型相结合的压缩理论
图像经过多级小波分解后，其相同方向的不同分辨率的小波子图像具有明显的相似性，但是小波变换并未充分利用这种相似性;而分形图像压缩特点就是利用这些相似性进行编码。将二者结合，相得益彰。
近来年，国内外也相继提出了许多分形与小波相结合的方法。娄莉等将图像进行小波分解后，对低频子带采用DCT编码;在分形编码时，根据不同方向子图的不同纹理特征，采用不同形状的块进行分形预测，同时对高频子带使用二次匹配编码，并且匹配运算只在同一方向上进行。采用整数小波变换对雷达图像进行分解和重构，然后采用改进的快速分形编码对低频子图像进行编码。Chaudhar将基于FFT的可变四叉树分割的分形图像编码应用于小波变换图像的近似子带和3个细节子带中;在分形解码近似子带图像的小波分解后，构造四叉树分割小波子树;利用小波子树中存在的自相似性，通过仿射变换从较粗尺度上预测更精细尺度的系数。Prashanth等提出在编码过程中迭代地应用四叉树分割，将原始图像分成添加噪声和不添加任何噪声并将其进行对比，在解码后使用中值滤波器去除图像中存在的噪声。目的在于提高重构图像的质量，增大压缩率或缩短编码时间。
算法的具体操作步骤：
（１）小波分解。对原始图像进行二级小波分解，得到７个小波子图像。（２）分形编码。由于低频子图ＬＬ２保留着原始图像的大部分信息，此保留低频子图像的小波数。对其他子图采用基于图像块框点和的分形编码，同时需要对不同级的小波子图像选用不同尺寸的Ｒ块与Ｄ块进行操作。在基本分形编码中，每像素灰度８bit量化，因此像素值为正，但是小波系数有正有负，不利于Ｒ块和Ｄ的相似匹配，这里提取系数符号单独编码，对取绝对值后的小波系数进行基于图像块框点和的分形编码。接下来描述基于图像块框点和的分形编码的具体操作。１）图像分割。把原始图像分割成互不重叠的ｎ×ｎ大小的固定子块，记为Ｒ块。２）码本构成。对同一幅图像，在纵横方向上按滑窗步长均为δ（一般地，取δ＝２ ｎ）个像素来生成尺寸为２ｎ×２ｎ的Ｄ块池。对于每个Ｄ 块，采用４－邻域像素值平均得到ｎ×ｎ图像块，并考虑８种等距变换，这样的子块集合构成码本Ω。
３）参数初始化。设定Ｒ块的标准差阈值τ、Ｄ块的标准差阈值η和搜索邻域半径ｋ。４）容许码本定义与赋序。定义容许码本Ωη＝｛Ｄ∈Ω｜σＤ≥η｝，按照式（２）计算每个Ｄ块的框点和Ｓ（Ｄ），并按照框点和的大小对容许码本Ωη进行升序排列。５）搜索最佳匹配块。对于每个Ｒ块，搜索最佳匹配块Ｄｍ∈Ωη：①如果σＲ＜τ，用ｒ·Ｉ代替Ｒ块；②如果σＲ≥τ，计算Ｒ块的框点和Ｓ（Ｒ），用二分搜索法在赋序码本中搜索初始匹配块。因为子块框点和具有仿射不变性，所以此时对搜索出的初始匹配块Ｄｍ考虑８种等距变换。６）记录分形码（ｍ（ｉ），ｓ，ｏ，ｔ）。赋序码本中，在以初始匹配块Ｄｍ为中心的ｋ邻域中选择与Ｒｉ有最小匹配误差的码本块Ｄｍ（ｉ），以及等距变换序号ｔ。储存Ｄｍ（ｉ）对应的Ｄ块的序号ｍ（ｉ）、ｔ、参数ｓ和ｏ，即得到Ｒ块的分形码：（ｍ（ｉ），ｓ，ｏ，ｔ）（ｓ和ｏ是量化值）。７）对于其余Ｒ块，重复步骤５）－６）。所有Ｒ块的分形码集合就构成了原始图像的分形码。解码时，分别利用得到的分形码重构各个子图，再添加相应的小波系数符号，然后通过反小波编码得到重构图像。
四． 应用与意义
分形图像编码在较高的压缩比下，可以保持较好的重构图质量；但也存在计算复杂度高和编解码时间长的缺点。因此，在定义一种新的子块特征———框点和的基础上，结合连续小波变换的平滑特性，提出了基于小波与分形相结合的图像压缩编码。该算法充分利用子带的相关性来提高重构图像的质量，将全局搜索转换为近邻搜索，缩小了搜索范围，从而减少了编解码时间。仿真实验结果表明，与基本分形算法和其他算法相比，新算法的性能更优，不仅缩短了编解码时间，而且提高了重构图像的质量，应用前景广阔。
五．参考文献
[1]何永洋. 基于离散小波变换的图像压缩感知编码技术研究[D].南京邮电大学,2018.
[2]汪玮玮. 基于分形理论与小波变换的图像压缩编码方法[D].南京邮电大学,2018.
[3]关雪梅.基于Matlab的小波变换图像压缩算法研究[J].赤峰学院学报(自然科学版),2018,34(09):58-59.
[4]张晶晶,张爱华,纪海峰.基于小波与分形相结合的图像压缩编码[J].计算机科学,2019,46(08):310-314.
[5]娄莉,刘天时.基于小波与分形相结合的图像压缩优化算法[J].微电子学与计算机,2010,27(06):145-148.
[6]李高平．分形法图像压缩编码［Ｍ］．成都：西南交通大学出版社，2010:173-180.