信息学奥赛一本通 1984：【19CSPJ普及组】纪念品 | 洛谷 P5662 [CSP-J2019] 纪念品

【题目链接】

ybt 1984：【19CSPJ普及组】纪念品
洛谷 P5662 [CSP-J2019] 纪念品

【题目考点】

1. 动态规划：完全背包

【解题思路】

由于小伟每天都可以买卖物品无限次，我们可以假想每天开始时，他把所有的商品都卖出，看用手中的钱该买哪些商品。
到第二天，又可以卖出商品换钱了，因此只需要考虑商品在当天及第二天的差价，差价越高，今天买该商品，到第二天升值越多。
结合购买纪念品的背景，每件商品可以购买无限件，因此在第i天买入商品，到第i+1天卖出所有商品，想要赚到最多的钱币，该问题实际是一个完全背包问题。

• 背包容量：小伟第i天拥有的钱币数
• 物品重量：每件物品在第i天的价格
• 物品价值：每件物品第i+1天的价格减去第i天的价格（差价）
• 能装入背包中的所有物品的最大价值：从第i天到第i+1天小伟赚到的钱币数，也就是第i+1天比第i天多获得钱币的最大值。
  t为总天数，循环变量i从1循环到t-1，每次循环使用完全背包方法求在第i天买入商品到第i+1天卖出所有商品后多赚到的钱币，在原钱币数量基础上增加赚到钱币的数量，该钱币数量作为下一天购买商品可以使用的总钱数（也就是背包容量）。
  最后输出总钱数。

【题解代码】

解法1：完全背包 二维状态

#include 
using namespace std;
#define N 105
#define M 10005 
int p[N][N];//p[i][j]：第i天第j纪念品的价格 
int w[N], c[N], dp[N][M];//dp[i][j]：前i个物品中选择物品放入大小为j的背包能获得的最大价值 
int main()
{
	int t, n, m;
	cin >> t >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= t; ++i)
		for(int j = 1; j <= n; ++j)
			cin >> p[i][j];
	for(int i = 1; i < t; ++i)
	{
		for(int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			w[j] = p[i][j]; 
			c[j] = p[i+1][j]-p[i][j];
		}
		for(int k = 1; k <= n; ++k)
			for(int j = 1; j <= m; ++j)
			{
				if(j >= w[k])
					dp[k][j] = max(dp[k-1][j], dp[k][j-w[k]]+c[k]);
				else
					dp[k][j] = dp[k-1][j];
			}
		m += dp[n][m];//总钱数增加相邻两天多赚到的最大钱币数 
	}
	cout << m; 
	return 0;
}

解法2：完全背包 滚动数组优化

#include 
using namespace std;
#define N 105
#define M 10005 
int p[N][N];//p[i][j]：第i天第j纪念品的价格 
int w[N], c[N], dp[M];//dp[i][j]：前i个物品中选择物品放入大小为j的背包能获得的最大价值 
int main()
{
	int t, n, m;
	cin >> t >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= t; ++i)
		for(int j = 1; j <= n; ++j)
			cin >> p[i][j];
	for(int i = 1; i < t; ++i)
	{
		for(int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			w[j] = p[i][j]; 
			c[j] = p[i+1][j]-p[i][j];
		}
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		for(int k = 1; k <= n; ++k)
			for(int j = w[k]; j <= m; ++j)
				dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[k]]+c[k]);
		m += dp[m];//总钱数增加相邻两天多赚到的最大钱币数 
	}
	cout << m; 
	return 0;
}