线性代数的本质——几何角度理解

B站网课来自 3Blue1Brown的翻译版，看完醍醐灌顶，强烈推荐：

线性代数的本质

本课程从几何的角度翻译了线代中各种核心的概念及性质，对做题和练习效果有实质性的提高，下面博主来总结一下自己的理解

---

1.向量的本质

在物理中的理解是一个有起点和终点的方向矢量，而在计算机科学中的理解——更像是某种类似于列表的结构体（只不过这是一种以数字为元素的列表）。

对应在数学的领域，可以理解为一种坐标——分别用列表中的项来对应起点与终点（二维向量）。 

而向量加法的本质，即为对应维度上的线性相消。 而另一种理解为，向量是空间中的某种运动，在不同维度上的线性抵消，如下图——这一性质也可以扩展到n维。

2.向量的坐标

首先理解单位向量的概念——i（1,0），j（0,1），由i与j的线性相加可以得到空间中的任一向量~

而向量【-3,2】，可以将两个元素理解为2个标量——即对向量的拉伸与压缩。

而基向量，也就是单位向量，即为所谓拉伸与压缩的对象！

两个数型向量的相加，被称为这2个向量的线性组合~

对于线性的一种理解：只允许1个标量变化，其余n-1个维度的坐标固定，所产生的向量集即为一条直线！

3.张成空间

定义：所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合。

• 对于二维，表示所有二维空间中向量的集合，亦或终点相同的向量的集合
• 对于三维，表示一个平面或者一个空间

4.线性相关与线性无关

• 所谓线性相关，即向量组中至少有一个是多余的，即没有对张成空间的形成做出贡献——换句话说，有至少一个向量可由其他向量线性相加获得（线性组合）
• 而所谓线性无关，即每一个向量的存在都会使得张成空间的维度增加

5.矩阵的本质——线性变换

所谓变化，其实就是函数的一种花哨说法~

本质上，向量a是由i和j的一个线性组合，而空间发生变化后a1则变为了同样发生变化的i1与j1与原来保持一致的线性组合！

所以，如果将变化后的i1与j1按照列向量合集表示，如下图，即形成了所谓的矩阵！

也就是说，在二维空间的线性变换，仅由4个数就可以决定！

 此刻若给出一个矩阵和一个已知变量 ，即可得出：对该向量进行目标矩阵的变换后可以得出的新向量!

关于上面的一个理解，不要晕：所谓的5/7，本质上的意味是：a=5i+7j，也就是说，所谓的目标向量，本质也是对i和j的一种变化！！！而为什么有的变化就是向量，而有的变化就是矩阵呢？那是因为，所谓的5/7，他对应的均为当前方向上的变化——即翻倍延长，而矩阵中，第一行的变化，均为在i方向上的变化，而第二行则全部对应j方向的变化——也就是说，矩阵变化后的i1和j1，实际上是在两个方向上同时变化！！！因此不难理解矩阵乘法的底层逻辑:这里第一行乘以第一列的意义，实际上是原来对应的5i，在i变成i1后所需要对应的变化——即i方向变3，j方向变2！第二行也是同理~此刻即使扩展到n维，这一原理仍成立！

 再进行一个更炸裂的理解：所谓m行n列的矩阵，m即为当前基向量的个数——即坐标系的维度，而所谓的mn列，即为对原始的基向量，需要进行几维的线性变换！

因此，我们可以说：矩阵的本质就是一种线性变换！（也就是作用于向量的函数）

6.矩阵的乘法

如果将矩阵理解为一种线性变换，那么矩阵的相乘本质即为连续的线性变换~

注意一个细节——同函数一致，需要向右往左看！

对于相乘后得到的矩阵：第一列即为第一个矩阵进行变换变为i1后，第二个矩阵使他变换为了i2；j2的诞生亦是如此~

至于乘法的规则，再描述一遍：如上的1/1，即为对i的变化，现在需要将i1变化为i2，则需要再对i1进行i和j两个维度上的一次变化！ 所以i1的i方向1在i上变0，j上变1；j1的i方向上2而j方向上变0！

非常抽象，需要反复琢磨！

7.三维空间中的线性变换

同二维平面一致，此处仅需要9个数，即可完成三维空间下的线性变换，将这9个数组为三维向量。

此处对3维方阵与向量的乘积做出如下两种理解：

• 首先，按列看，1~3列可以分别对应为基向量i、j、k的线性变换，而按行看，则代表i、j、k向量在当前所对应的维度上各自的变化量。
•  另一种解释，如上图，xyz后面的向量，实际意义是经过线性变换后坐标系里的基向量，而此刻把xyz可以理解为一种给定的标量，并作用于当前变换后的基向量

8.行列式

单位正方形：在二维平面内，以i和j两个基向量为边所圈成的正方形

行列式的本质，即为线性变换对原面积改变的比例——行列式的值即为对面积的缩放比例数值

• 在二维平面里，如果行列式的值为负，本质是在将矩阵翻转~
• 在三维空间里，行雷士的值即为对应体积的缩放比例~

在三维的情况下，当行列式为0时，即当前的体积被压缩为0，几何角度的理解为：存在共线向量、共面甚至重合的一个点！——这便是所谓线性相关的几何意义。

这也从某种角度解释了——为什么对应的行列式为0的向量组必然线性相关，实质上还是那个理解，存在未对维度变化做出贡献的向量

（可以说，空间压缩的本质是行列式为0）

9.线性方程组

首先要注意——线性方程组存在的意义和向量的乘法非常的类似~

如上是一种非常具有技巧性的理解：方程组可以表示为矩阵与向量的积

其中系数矩阵A本质上就是对于向量的某种函数；而这里的向量是一个未知数，由x/y/z三个未知的数值表示。

上述Ax=v的理解可以有两种：

• 矩阵代表一种线性变换，在一元函数中可以理解为k、b这样的常数，而xyz组成的向量本质上就是一元函数中的自变量
• 同理，依旧可以理解为，xyz是对当前经过矩阵A变换后的新的基向量的数值，则这一方程本质上变为了求解标量xyz的过程

 10.逆矩阵

顾名思义，几何意义即为逆向的线性变换。

存在的意义为，A-1和A可以相互抵消，形成一个本质上什么都做的变换，这样的变换又被称为恒等变换

单位矩阵E的集合意义在这里就解释得同了：对角线为1的性质，带来了仅对当前向量的基向量所对应维度的变换，且倍数为1。

11.秩

本质为线性变换后的空间维数（国内的课本定义为：非0子式的最高阶数......）

秩为1表示变换后的直线落在一条一维的线上，秩为2表示为二维空间

列空间：所有可能得输出向量所构成的集合——所以秩也可以定义为列空间的维数

满秩：秩数与列数相等

12.非方阵的矩阵

如上图，结合一个具体的例子产生矩阵的数值意义：2列代表着，输入空间有两个基向量，即该向量的张成空间可以理解为是二维的；而3行，又意味着每一个基向量又有3个坐标组成。而这样一个三行两列的句子，意味着空间中的一个平面。

总的来说，矩阵的行数即为当前向量坐标的个数，而列数则是基向量的个数~

因此这里提出一个比较炸裂的理解：为什么不是方阵的矩阵均没有行列式呢？这是因为，方阵与向量的积不会改变向量的维度，而矩阵本身又是一个线性变换，所以可以理解为乘以对应的行列式——即某个倍数；而矩阵乘以一个向量，会改变向量的维度！因此在不同的维度下讨论倍数，便不再具有意义。这里打个比方，有一桶水，所谓的伸缩本质上就是给水桶里添加/减少容量的过程，而如果水洒了一地，维度改变，即不再具有倍数的讨论。

13.特征值与特征向量

特征值：衡量特征向量在变换中拉伸或压缩的比例的因子~

特征向量：线性变换中不离开自己张成空间的特殊向量~

（一部分暂不展开更细的讲解，之后有机会更新）