DP优化 - 斜率优化

假设当前的 DP 方程为

$$f_i=\underset{0\le j<i}{\min }\{-K(i)X(j)+Y(j)\}+F(i)$$

或

$$f_i=\underset{0\le j<i}{\max }\{-K(i)X(j)+Y(j)\}+F(i)$$

其中 $F(i)$、$K(i)$ 为关于 $i$ 的函数，$X(j)$、$Y(j)$ 为关于 $j$ 的函数。（$X(j)$、$Y(j)$ 中可以包含 $f_j$）

接下来只考虑 $f_i=\underset{0\le j<i}{\min }\{-K(i)X(j)+Y(j)\}+F(i)$ 的情况，因为另一个与这个相似。

此时，我们设 $B(i)$ 为 $f_i-F(i)$。方程就成为

$$B(i)=\underset{0\le j<i}{\min }\{-K(i)X(j)+Y(j)\}$$

对于一个一次方程 $y=kx+b$，其可以转换为 $b=y-kx$。

所以说，原方程相当于求过所有满足 $0\le j<i$ 的点 $(X(j),Y(j))$ 的、斜率为 $K(i)$ 的一次方程在 $y$ 轴的截距 $b$ 的最小值 $B(i)$。

假设有一条直线 $y=K(i)x+b$，从 $b=-\infty$ 开始，不断上移，直到碰到第一个碰到的点 $(X(j),Y(j))$，答案 $B(i)=b$。

这个问题可以使用凸包解决。

即求出所有满足 $0\le j<i$ 的点 $(X(j),Y(j))$ 组成的凸包，

（图片引用至 OI - WIKI）

然后求出凸包上斜率为 $K(i)$ 的直线的切点。

我们可以用平衡树，二分，$CDQ$ 等方法求出切点。

平衡树时间复杂度 $O(n\log n)$，$CDQ$ 时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$，二分 $O(n\log n)$。

如果函数 $K(i)$ 满足单调性，则可以用单调队列解决，之后假设 $K(i)$ 单调递增。（单调递减则类似）

单调队列储存了凸包上的一些节点 $P_0,P_1,P_2,...$。

若当前斜率改变为 $K(i)$，我们每次判断单调队列中前两个点 $P_0,P_1$ 组成线段的斜率是否小于 $K(i)$。若小于，则删除 $P_0$，重复刚才的步骤。反之，切点为 $P_0$。

求出切点后，我们对应可以求出 $B(i)$，也可以求出 $f_i$。

然后在图中添加点 $(X(i),Y(i))$，往下计算 $f_{i+1}$。

维护一个动态凸包即可。