热传导定律

热传导定律

1.温度的刻画

通常情况下,不同时刻对于空间不同的点, 其温度通常是不相同的, 为此我们假设 为我们需要研究的区域, 于是自然要考虑的是引入函数

来刻画空间的温度随时间的演化.

当然, 简单的情况是温度场不随时间演化, 也就是函数 与时间变量无关, 只由空间变量确定, 这种情形我们称为温度场是稳定的.

2. 等温度线与等温度面

自然, 对于函数 而言, 我们取定一个时刻 , 如果在 存在一条曲线 , 使得

那么我们称 为温度场函数在 时刻的等温线, 类似当然可以定义等温面.

3.温度场的梯度

对于温度场 而言, 我们自然关系向量场

我们称其为温度场的梯度场, 注意, 由梯度的含义, 我们很快知道, 对时空点 而言, 梯度方向是温度场函数增长最快的方向, 等价地说, 负梯度方向自然是温度场函数减小最快的方向, 由于在热的传导的过程中都是由高温传导到低温, 因此我们很多时候跟关注温度场的负梯度场.

当然, 更一般的手法是我们考虑一个封闭曲面 , 取其自然的单位法向量场 , 我们更关心的是函数

现在我们需要引入相关概念来刻画热的传导.

定义: 单位时间通过某曲面 的单位面积的热量我们称为热流密度. 我们用 来表示这个函数. 在数学上我们的出来为, 我们在曲面上任意取一个点 , 并任意取一个包含 的面积微元 , 并取一个充分小的时间 , 如果在这个时间段内通过曲面的热流为 , 那么我自然考虑

当然这个数值与时空点 由关, 同时还与 以及 有关, 因此自然的模式是考虑

如果这个极限存在, 我们就称其为温度场 在时空点 的热流密度, 即

4.Fourier 热传导定律

Fourier 热传导定律: 对于分布在时空 上的温度场而言, 时空点 的热流密度与该时空点的温度场的梯度场成正比, 即

注意, 其中 是时空区域 的热传导系数函数, 这个函数通常及其复杂, 在温度函数不出现大振幅的情况下, 对于均匀介质, 我们通常将其取为常量, 然后使用实验的方式进行测量.

对函数 的精确掌握需要对热传导