Hard Problems简介

1. 引言

computational complexity的核心问题在于：

• 计算机容易实现什么？计算机几乎不可能实现什么？

某hard problem从根本上有多困难？这是计算机科学家的基本任务，他们希望将问题分类为所谓的“complexity classes”。这些“complexity classes”中包含所有计算问题，这些计算问问题需要少于一定数量的计算资源——如时间或内存。
根据“complexity classes”，可将Hard Problems分为如下层级结构：

其中某类包含了其它所有hard problems，以及某些hard problems需要额外的计算资源。

举个简单例子，对于大数123,456,789,001，提2个问题：

• 问题1：该数是否为素数？即只能被1和其自身整除：计算机科学家可使用快速算法来解决该问题——算法不会因为数字变得任意大而陷入困境。
• 问题2：该数的素数因子有哪些？除非使用量子计算机，现在没有快速算法来解决该问题。

即，从计算机科学家的角度来看，这2个问题分属与不同的complexity classes。

现存有多种不同的complexity classes，但大多数情况下，研究人员还不能证明某类class与其他类的绝对不同之处。证明这些类型的分类区别是该领域最困难、最重要的公开问题之一。

complexity classes之间的差异可能是微妙的，也可能是明显的，保持类的straight（正统性）是一项挑战。出于这个原因，本文重点关注七个最基本的complexity classes：

• 1）P
• 2）BPP
• 3）BQP
• 4）NP
• 5）PH
• 6）PSPACE
• 7）EXPTIME

2. P

P表示：

• Polynomial time。

所谓P hard problem，是指：

• 经典（即非量子）计算机易于解决的所有问题。

准确来说，是指：

• P中的算法必须在最多$n^c$ time时限内停止运行并给出正确答案，其中$n$为输入长度，$c$为某常量值。

经典的P hard problem有：

• 某数字是素数么？
• 2点之间的最短路径？

当前研究人员想知道的是：

• P与NP是否等价？若等价，它将颠覆计算机科学，并使大多数密码学在一夜之间失效。（几乎没有人认为是这样。）

3. NP

NP表示：

• Nondeterministic Polynomial time

所谓NP hard problem，是指：

• 一旦给出问题的解决方案，可在经典计算机上快速验证的所有问题。

准确来说，是指：

• 若某问题为NP Problem，已知该问题答案为“yes”，则存在简短proof来证明该答案是正确的。若输入为string X，需判断其答案为“yes”，相应的简短proof为string Y，可使用Y在polynomial time内验证其答案确实是“yes”。（Y有时称为“short witness”——所有NP Problem都有可快速验证的“short witness”。）

经典的NP hard problem有：

• 成团问题。想象一个有边和节点的图——如，该图中，节点是Facebook上的个人，若两个节点是“朋友”，则通过一条边连接。团是该图的一个子集，团中所有人都是其他人的朋友。有人可能会问在图中：是否有20人的团？50人？100？找到这样的团是一个“NP-complete”问题，即意味着它是NP中任何问题中复杂度最高的。但如果给出一个潜在的答案——50个节点的子集，可能形成也可能不形成团——则很容易检查。
• 旅行推销员问题。给定一个城市列表，以及 两两城市间的举例，有没有一种方法可以在不到一定英里数的情况下穿过所有城市？如，一个旅行推销员能在不到11000英里的范围内穿过美国的各州首府吗？

当前研究人员想知道的是：

• P与NP是否等价？计算机科学家离解决该问题还差得很远。

4. PH

PH代表：Polynomial Hierarchy

所谓PH hard problem，是指：

• 为NP的泛化。其包含了所有NP问题，并增加了额外的complexity layer。

准确来说，是指：

• PH中包含一些具有alternating “quantifiers”（交替量词）的问题，这些“quantifiers”使问题更加复杂。alternating “quantifiers”问题举例：给定X，是否存在Y，对于每个Z都存在W，使得R发生？一个问题包含的量词越多，它就越复杂，其多项式层次也越高。

经典的PH问题为：

• 判断是否存在50人团而不存在51人团。

当前研究人员想知道的是：

• 计算机科学家还不能证明PH不同于P。该问题与"P是否等于NP"等价，应为，若（不幸地）P=NP，则所有的PH将塌缩为P，即P=PH。

5. PSPACE

PSPACE表示：

• Polynomial Space。

所谓PSPACE hard problem，是指：

• 能以合理内存量来解决的所有问题。

准确来说，是指：

• PSPACE中不关心time，仅关心运行某算法所需的内存量。计算机科学家已证明了PSPACE中包含了PH，进而包含了NP，再进而包含了P。

经典PSPACE问题有：

• 每个P问题、NP问题和PH问题，均为PSPACE问题。

当前研究人员想知道的是：

• P与PSPACE是否存在不同之处？

6. BQP

BQP表示：

• Bounded-error Quantum Polynomial time

所谓BQP难题，是指：

• 量子计算机易于解决的所有问题。

准确来说，是指：

• 量子计算机可在polynomial time时限内解决的所有问题。

经典BQP难题有：

• 识别某正数的素数因子。

当前研究人员想知道的是：

• 计算机科学家已证明BQP包含在PSAPCE中，且BQP中包含了P。但不确定BQP是否在NP中，但计算机科学家坚信NP与BQP为incomparable：即有些问题是NP而不是BQP，反之亦然。

7. EXPTIME

EXPTIME表示：

• Exponential Time

所谓EXPTIME难题，是指：

• 经典计算机可在exponential amount of time时限内解决的所有问题。

准确来说，是指：

• EXPTIME难题中包含了之前所有种类——P、NP、PH、PSPACE、BQP。研究人员已证明EXPTIME不同于P，因为已找到了属于EXPTIME的问题，其不属于P难题。

经典EXPTIME难题有：

• 通常的棋类和checker游戏都属于EXPTIME。若棋盘可为任意size，则判断某棋手在特定棋盘位置是否有优势，就是EXPTIME难题。

当前研究人员想知道的是：

• 计算机科学家希望能够证明PSPACE不包含EXPTIME。他们认为EXPTIME中存在的问题不在PSPACE中，因为有时在EXPTIME中需要大量内存来解决问题。计算机科学家知道如何分离EXPTIME和P。

8. BPP

BPP表示：

• Bounded-error Probabilistic Polynomial time

所谓BPP难题，是指：

• 可由，包含随机数的算法，快速解决的问题。

准确来说：

• BPP与P完全相同，但不同之处在于该算法允许包括决策随机化的步骤。BPP中的算法只需要给出概率接近1的正确答案。

经典BPP难题有：

• 有2个不同的共识，每个都生成一个具有很多变量的多项式。这2个公式是否计算的是完全相同的多项式？——称为polynomial identity testing problem。

当前研究人员想知道的是：

• 计算机科学家想知道BPP=P是否成立。若成立，则意味着每个随机化算法都可以去随机化。科学家认为事实就是这样——对于每一个存在有效随机算法的问题，都有一个有效的确定性算法——但他们无法证明这一点。

参考资料

[1] Kevin Hartnett 2018年在Quanta Magazine上的博客 A Short Guide to Hard Problems