PID控制算法

1. 什么是PID控制算法

PID控制就是对偏差进行比例、积分、微分的计算从而去达到用户的期望目标的控制

由于3个单元组成：比例（P）单元、积分（I）单元、微分（D）单元。

$$U(t)=Kp[e(t)+\frac{1}{Ki}{\int }_0^{t}e(t)dt+Kd\frac{de(t)}{dt}]$$

• u(t)为控制器输出的控制量；（输出）

• e(t)为偏差信号，它等于给定量与输出量之差；（输入）

• KP 为比例系数；（对应参数 P）

• KI 为积分时间常数；（对应参数I）

• KD 为微分时间常数。(对应参数 D)

（2022/3/20编辑）

1.0 棒棒控制（启停式控制）

若我想进行一个温度控制的时候，则对温度引入反馈调节，即：当温度小于目标温度的时候就加热，目标大于目标温度的时候就停止加热或者降温，这么做就是棒棒控制。

1.1 KP比例参数的引入

但是棒棒控制的缺陷在于，我不知道每次的加热和降温给多少会比较好，所以人们引入了比例项来对棒棒控制进行改进，即：当我加热接近到目标温度时候就减少加热量，这样引入了对误差*比例参数项，当误差减小的时候，输出也减小了。
$$U(t)=KP\ast e(t)$$

1.2 KI积分参数的引入

若仅有KP比例控制的缺陷是：无法达到目标温度，因为每次我接近目标温度之后，误差变为0，输出则为0，很快温度就又低下来了。（这种则称为静态误差）。
所以人们引入了积分项来对纯比例P控制进行改进。即：我一直累加你的误差，当我很接近目标误差趋向于0的时候，我的积分项可以把我的输出再抬一点抬上去，从而去弥补静态误差；
$$U(t)=KP\ast e(t)+KI\ast {\int }_0^{t}e(t)dt$$

1.3 KD微分参数的引入

但是人们又发现PI控制的一些缺陷：曲线在目标直线附近一直在高频的小幅度波动，一段时间后才接近目标值，若参数不好可能还达不到目标值。
所以人们引入了微分项，去抑制这种振荡（波动）。
$$U(t)=KP\ast e(t)+KI\ast {\int }_0^{t}e(t)dt+KD\frac{de(t)}{dt}$$
（编辑结束）
离散化PID

因为采样数据是离散的，所以我们需要使用离散的差分方程代替连续的微分方程，来根据采样时刻的偏差值计算控制值

（1）用一阶差分代替一阶微分

（2）用累加代替积分

（编辑于2021/12/12）

为什么要用PID

• 在驱动电机给电机PWM波的时候，输出给电机的电压可能是不稳定的，具有尖峰，不够平滑，所以需要有PID（反馈增加稳定性）
• 同时由于电压的掉电也会影响速度；
  （编辑结束）

2. 位置式PID

2.1 原理

$$U(t)=Kp\times e(k)+Ki\times \sum e(k)+Kd\times [e(k)-e(k-1)]$$

• 比例P : e(k) 本次偏差（用户设定的值（目标值） - 控制对象的当前的状态值）
• 积分I : ∑e(i) 误差的累加（连续域上的积分对应离散的求和）
• 微分D : e(k) - e(k-1) 这次误差-上次误差（连续域上的微分对应差分）
• U(t)：代表输出

目的：
位置式PID是当前系统的实际位置，与你想要达到的预期位置的偏差，进行PID控制

优点

• 直接赋值新的PWM调节更加灵敏

缺陷：

• Ki会不断的积累误差，一旦控制输出出错(控制对象的当前的状态值出现问题 )，u(k)的大幅变化会引起系统的大幅变化，所以在u(k)达到最大和最小时，要停止积分作用，并且要有积分限幅和输出限幅
• 所以在使用位置式PID时，一般我们直接使用PD控制

使用领域：
位置式 PID 适用于执行机构不带积分部件的对象，如舵机和平衡小车的直立和温控系统的控制

2.2 C语言代码实现

int Position_PID (int Encoder,int Target)
{ 	
   static float Bias,Pwm,Integral_bias,Last_Bias;
   Bias=Encoder-Target; //计算偏差
   Integral_bias+=Bias; //求出偏差的积分	     
   Pwm=Position_KP*Bias+Position_KI*Integral_bias+Position_KD*(Bias-Last_Bias);       
   Last_Bias=Bias;       //保存上一次偏差 
   return Pwm;           //输出
}

• 一般在定时中断中执行，为了让它执行的频率是个定值，符合时序

3. 增量式PID

3.1 原理

$$▲U(t)=Kp[e(k)-e(k-1)]+Ki\ast e(k)+Kd[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)]$$

• 比例P : e(k)-e(k-1) 这次误差-上次误差
• 积分I : e(i) 误差
• 微分D : e(k) - 2e(k-1)+e(k-2) 这次误差-2*上次误差+上上次误差
• ▲U(t)：输出的增量，相当于对位置式进行了微分后返回的东西再积分

增量式PID根据公式可以很好地看出，一旦确定了 KP、TI 、TD，只要使用前后三次测量值的偏差， 即可由公式求出控制增量

而得出的控制量▲u(k)对应的是近几次位置误差的增量，而不是对应与实际位置的偏差没有误差累加

也就是说，增量式PID中不需要累加。控制增量Δu(k)的确定仅与最近3次的采样值有关，容易通过加权处理获得比较好的控制效果，并且在系统发生问题时，增量式不会严重影响系统的工作

缺点

• PWM会不断的积累，如果在我未开启电机驱动而开启了PID计算时输出的PWM会不断攀升

总结：增量型 PID，是对位置型 PID 取增量，这时控制器输出的是相邻两次采样时刻所计算的位置值之差，得到的结果是增量，即在上一次的控制量的基础上需要增加（负值意味减少）控制量。

3.2 C语言代码实现

int Incremental_PI (int Encoder,int Target)
{ 	
    static float Bias,Pwm,Last_bias;
    Bias=Encoder-Target;                                  //计算偏差
    Pwm+=Velocity_KP*(Bias-Last_bias)+Velocity_KI*Bias;   //增量式PI控制器计算公式
    Last_bias=Bias;	                                      //保存上一次偏差 
    return Pwm;                                           //增量输出
}

4. 参数整定

4.1 PID手动整定

参考资料

位置式PID与增量式PID区别浅析
十分钟入门PID控制器
带你认识PID闭环控制 - 增量式PID实现电机速度闭环