三级指标 主成分分析_(完整版)主成分分析法的步骤和原理

Z

1

=

μ

11

X

1

+

μ

12

X

2

+

…μ

1p

X

p

Z

2

=

μ

21

X

1

+

μ

22

X

2

+

…μ

2p

X

p

……

……

……

Z

p

=

μ

p1

X

1

+

μ

p2

X

2

+

…μ

pp

X

p

主成分是不相关的线性组合

Z

1

，

Z

2

……

Z

p

，并且

Z

1

是

X

1

，

X

2

…

X

p

的线性组

合中方差最大者，

Z

2

是与

Z

1

不相关的线性组合中方差最大者，…，

Z

p

是与

Z

1

，

Z

2

……

Z

p-1

都不相关的线性组合中方差最大者。

(三)主成分分析法基本步骤

第一步：设估计样本数为

n

，选取的财务指标数为

p

，则由估计样本的原始

数据可得矩阵

X=(x

ij

)

m

×

p

，其中

x

ij

表示第

i

家上市公司的第

j

项财务指标数据。

第二步：

为了消除各项财务指标之间在量纲化和数量级上的差别，

对指标数

据进行标准化，得到标准化矩阵(系统自动生成)

。

第三步：根据标准化数据矩阵建立协方差矩阵

R

，是反映标准化后的数据之

间相关关系密切程度的统计指标，值越大，说明有必要对数据进行主成分分析。

其中，

R

ij

(

i

，

j=1

，

2

，…，

p

)为原始变量

X

i

与

X

j

的相关系数。

R

为实对称矩阵

(即

R

ij

=R

ji

)

，只需计算其上三角元素或下三角元素即可，其计算公式为：

2

2

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

j

kj

n

k

i

kj

j

kj

n

k

i

kj

ij

X

X

X

X

X

X

X

X

R



















第四步：根据协方差矩阵

R

求出特征值、主成分贡献率和累计方差贡献率，

确定主成分个数。

解特征方程

0





R

E



，

求出特征值λ

i

(

i=1

，

2

，

…，

p

)

。

因为

R

是正定矩阵，所以其特征值λ

i

都为正数，将其按大小顺序排列，即λ

1

≥λ

2

≥…≥λ

i

≥

0

。特征值是各主成分的方差，它的大小反映了各个主成分的

影响力。主成分

Z

i

的贡献率

W

i

=





p

j

j

j

1





，累计贡献率为