可用于多元正态的参数估计 及 均值向量和协差阵检验 的R语言函数总结
一、多元正态的参数估计
1.1 样本均值
在R语言中，均值通常用函数mean()得到，但是mean()只能计算一维变量的样本均值，在面对多元随机变量的样本时，假设我们以数据框的形式保存样本，我们有以下方法可以得到样本均值：
- 对多元样本的每一个分量用mean()函数，可以用apply()或sapply()函数
- 以数据框类型保存的样本，可以用summary()函数返回各个变量的各项描述性数据，其中包括均值
例1.1：
计算有割草机家庭的样本均值向量
| 有割草机家庭 | 无割草机家庭 | ||
| x1 | x2 | x1 | x2 |
| 20.0 | 9.2 | 25.0 | 9.8 |
| 28.5 | 8.4 | 17.6 | 10.4 |
| 21.6 | 10.8 | 21.6 | 8.6 |
| 20.5 | 10.4 | 14.4 | 10.2 |
| 29.0 | 11.8 | 28.0 | 8.8 |
| 36.7 | 9.6 | 16.4 | 8.8 |
| 36.0 | 8.8 | 19.8 | 8.0 |
| 27.6 | 11.2 | 22.0 | 9.2 |
| 23.0 | 10.0 | 15.8 | 8.2 |
| 31.0 | 10.4 | 11.0 | 9.4 |
| 17.0 | 11.0 | 17.0 | 7.0 |
| 27.0 | 10.0 | 21.0 | 7.4 |
注：在输入数据时，通常会用一个新的变量(假设命名为Y)来表示每个观测所属的组，称为分组变量，这个变量在R中通常要转换成因子
> data4.1=read.csv('Table4-1.csv')
> head(data4.1)
### y是分组变量，y=1表示有割草机家庭
x1 x2 y
1 20.0 9.2 1
2 28.5 8.4 1
3 21.6 10.8 1
4 20.5 10.4 1
5 29.0 11.8 1
6 36.7 9.6 1
###
> apply(data4.1[data4.1$y==1,],2,mean)[1:2] #用apply()函数运算
###
x1 x2
26.49167 10.13333
###
> summary(data4.1[data4.1$y==1,]) #用summary()获取各分量的样本均值
###
x1 x2 y
Min. :17.00 Min. : 8.40 Min. :1
1st Qu.:21.32 1st Qu.: 9.50 1st Qu.:1
Median :27.30 Median :10.20 Median :1
Mean :26.49 Mean :10.13 Mean :1 #该行为均值
3rd Qu.:29.50 3rd Qu.:10.85 3rd Qu.:1
Max. :36.70 Max. :11.80 Max. :1
###- apply()用法：apply(A,margin,fun,...)
apply()函数用来对矩阵或数据框的每行或每列进行指定函数的运算。其中A为矩阵或数据框；margin指定对行或对列进行运算，当margin=1时对行进行运算，当margin=2时对列进行运算；fun是指定的函数
- summary()用法：summary(object,...)
summary()多用于获取项目的摘要，包含部分信息。当object为数据框时，会返回各个变量的五数（最小值，下四分位数，中位数，上四分为数，最大值）和均值
1.2 样本协差阵
在R中，样本协差阵的获取非常简便， 对数据框使用cov()函数即可
例1.2：
继上题，计算有割草机组的样本协差阵
> cov(data4.1[data4.1$y==1,][,1:2])
###
x1 x2
x1 39.182652 -1.969697
x2 -1.969697 1.020606
###- cov()用法：cov(x,y=NULL,...)
当指定cov()的参数x和y，且两者都为一维向量时，会返回两个向量的样本协方差；而未指定参数y，且x为矩阵或数据框时，会返回以x每一列作为变量样本的协差阵
1.3 样本相关阵
获取样本相关阵的函数是cor()，其用法与cov()相同，两个一维向量返回相关系数；数据框返回相关阵
二、各类检验
2.1 正态性检验
正态性检验即检验样本是否来自正态总体的检验，原假设都为来自正态总体。正态性的检验方法有许多种，此处介绍小样本量(3~50)时所用的夏皮洛-威尔克检验。R中的夏皮洛-威尔克检验的函数为shapiro.test()
shapiro.test()一次只能对一维变量进行正态性检验，当面对多元随机变量的样本时，有以下方法
- 我们可以对其每一个分量都进行一次正态性检验，当所有分量都检验得出服从正态分布后，可以认为该多元随机变量服从多元正态分布
- 运用mvnormtest包内的mshapiro.test()函数进行多元正态性检验
实现时可能会用到的函数有：
- sapply()，对每个分量进行指定的检验
- tapply()，对以分组变量指定的不同组别分别进行指定的检验
例2.1：
继上题，对不同类型家庭的随机向量数据进行正态性检验
> sapply(data4.1[,-3],shapiro.test) #对各分量进行正态性检验，但是未分组
###
x1 x2
statistic 0.9654387 0.9880936
p.value 0.5568611 0.9897171
method "Shapiro-Wilk normality test" "Shapiro-Wilk normality test"
data.name "X[[i]]" "X[[i]]"
###
> tapply(data4.1[,1],data4.1$y,shapiro.test)
### 对分组后的x1进行正态性检验
$`0`
Shapiro-Wilk normality test
data: X[[i]]
W = 0.98551, p-value = 0.9971
$`1`
Shapiro-Wilk normality test
data: X[[i]]
W = 0.95332, p-value = 0.6859
###
> tapply(data4.1[,2],data4.1$y,shapiro.test)
### 对分组后的x2进行正态性检验
$`0`
Shapiro-Wilk normality test
data: X[[i]]
W = 0.97557, p-value = 0.9596
$`1`
Shapiro-Wilk normality test
data: X[[i]]
W = 0.98262, p-value = 0.992
###
##对有割草机家庭的随机向量数据进行正态性检验
> mshapiro.test(t(as.matrix(data4.1[data4.1$y==1,-3])))
Shapiro-Wilk normality test
data: Z
W = 0.96877, p-value = 0.8975
##对无割草机家庭的随机向量数据进行正态性检验
> mshapiro.test(t(as.matrix(data4.1[data4.1$y==0,-3])))
Shapiro-Wilk normality test
data: Z
W = 0.98001, p-value = 0.9837检验结果为均服从正态分布
- sapply()：sapply(X,Fun,...)
sapply()用于对X的每个分量进行Fun函数运算，X应该是矩阵或数据框
- tapply()：tapply(X,Index,Fun=NULL,...)
tapply()用于对以分组变量Index指示的每个组中对应的X的数据进行Fun函数运算
- mshapiro.test()：mshapiro.test(U)
mshapiro.test()用于进行多元的夏皮洛-威尔克正态性检验，需要注意U只能是数据矩阵，当遇到用数据框存储的数据时要用as.matrix()转化为矩阵，且这个函数默认变量的数据按行排放，通常我们需要对矩阵再进行一次转置
另外，可以画出Q-Q图查看样本的正态性，常用的函数有qqnorm()和qqline()
- qqnorm(x)，其中x为一维变量的样本，当画出的散点图越接近一条斜线，其正态性越强
- qqline(x)，其中x为一维变量的样本，当画出散点的Q-Q图后，添加点所靠近的斜线，该斜线的斜率为标准差,截距为均值
2.2 均值向量的检验
一维的均值检验有很多，若样本服从正态分布我们可以用t.test()单个总体或双总体的t检验；若不服从正态分布，我们可以用wilcox.test()进行秩和检验，用法与t.test()类似；当遇到多个总体时，若各个变量的方差相差不大，我们可以用将各个变量的数据放到一列，然后用一个分组变量表示数据属于哪个变量，运用aov()进行方差分析，从而进行多总体的均值检验
当遇到多元随机变量的均值检验时，我们有以下方法：
- 对每个分量进行均值检验，通过正态性检验的用t检验，未通过正态性检验的用秩和检验
- 对通过多元正态检验的数据，运用ICSNP包中的HotellingsT2()函数进行均值向量的检验
- 多总体时，若协差阵齐性检验通过，可以用manova()进行多元方差分析
例2.2.1：
继上题，检验有割草机家庭和无割草机家庭的向量均值是否相同
#上题已得出各类家庭的数据均通过正态检验
> t.test(x1~y,data=data4.1) #对x1分量进行t检验
Welch Two Sample t-test
data: x1 by y
t = -3.2508, df = 20.458, p-value = 0.003919
alternative hypothesis: true difference in means between group 0 and group 1 is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-12.073229 -2.643437
sample estimates:
mean in group 0 mean in group 1
19.13333 26.49167
> t.test(x2~y,data=data4.1) #对x2分量进行t检验
Welch Two Sample t-test
data: x2 by y
t = -3.1203, df = 21.956, p-value = 0.004991
alternative hypothesis: true difference in means between group 0 and group 1 is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-2.1918725 -0.4414609
sample estimates:
mean in group 0 mean in group 1
8.816667 10.133333
> library(ICSNP)
> attach(data4.1)
> HotellingsT2(cbind(x1,x2)~y) #霍特林T方检验，用于多元正态向量
Hotelling's two sample T2-test
data: cbind(x1, x2) by y
T.2 = 12.257, df1 = 2, df2 = 21, p-value = 0.000297
alternative hypothesis: true location difference is not equal to c(0,0)
对各分量进行t检验的结果是：有割草机家庭与无割草机家庭的两个分量都不相等
对向量整体进行霍特林T方检验的结果是：有割草机家庭与无割草机家庭的向量均值不相等
该题也可以用多元方差分析，只是水平数为2，其实也是通过对每个分量进行检验
例2.2.2：
现有如下表所示各省统计数据，试检验它们的均值向量是否等于 (1081,1822,115,179)
| 序号 |
省份 |
工资性收入 |
家庭性收入 |
财产性收入 |
转移性收入 |
| 1 |
北京 |
4524.25 |
1778.33 |
588.04 |
455.64 |
| 2 |
天津 |
2720.85 |
2626.46 |
152.88 |
79.64 |
| 3 |
河北 |
1293.50 |
1988.58 |
93.74 |
105.81 |
| 4 |
山西 |
1177.94 |
1563.52 |
62.70 |
86.49 |
| 5 |
内蒙古 |
504.46 |
2223.26 |
73.05 |
188.10 |
| 6 |
辽宁 |
1212.20 |
2163.49 |
113.24 |
201.28 |
注：以上为部分表格，表格全部内容在此不展示
> data3=read.csv('Table_0.csv',encoding='UTF-8') #读取数据
> mu_bar=c(1081,1882,115,179)
> rownames(data3)=data3[,1] #将省名赋给数据框行名
> data3=data3[,-1] #去除省名一列
###
假设通过了正态性检验
###
> HotellingsT2(data3,mu=mu_bar)
Hotelling's one sample T2-test
data: data3
T.2 = 1.8443, df1 = 4, df2 = 27, p-value = 0.1494
alternative hypothesis: true location is not equal to c(1081,1882,115,179)
检验结果为各省统计数据的均值向量等于(1081,1822,115,179)
例2.2.3：
在数据New drug.xls中，各变量的意义为drug（药），取值1表示对病人给以新药，取值2表示对病人给以安慰剂，resp1-resp3是治疗后病人三个时点的呼吸状况，pulse1-pulse3是病人三个时点的脉搏。试分析这两方法的各次重复测定均值向量是否有显著差异？
| drug | resp1 | resp2 | resp3 | pulse1 | pulse2 | pulse3 |
| 1 | 3.4 | 3.3 | 3.3 | 2.2 | 2.1 | 2.1 |
| 1 | 3.4 | 3.4 | 3.3 | 2.2 | 2.1 | 2.2 |
| 1 | 3.3 | 3.4 | 3.4 | 2.3 | 2.4 | 2.3 |
| 2 | 3.3 | 3.3 | 3.3 | 2.8 | 2.9 | 2.7 |
| 2 | 3.2 | 3.3 | 3.4 | 2.6 | 2.7 | 2.7 |
| 2 | 3.2 | 3.2 | 3.2 | 2.7 | 2.9 | 2.7 |
注：以上为部分表格，表格全部内容在此不展示
题目要求检验不用用药的组之间，向量(resp1,resp2,resp3,pulse1,pulse2,pulse3)的均值是否相等。因为drug只有2个水平，可以对每个分量进行t检验，但是分量比较多会比较麻烦；也可以用多元方差分析，查看结果也是对每个分量的检验，不过需要先进行协差阵检验；用霍特林T2检验会比较简单。
> data_drug=read.csv('new drug.csv',encoding='UTF-8')
> names(data_drug)[1]='drug' #UTF-8格式的csv文件读取后，第一列的名字会有变动，此处改回
> attach(data_drug)
###
对每个变量进行正态性检验后
得知随机向量不服从多元正态分布
因此不能用t检验和霍特林T方检验，不过可以对每个分量进行秩和检验
假设数据通过了协差阵检验
接下来进行多元方差分析
###
> modle_drug=manova(cbind(resp1,resp2,resp3,pulse1,pulse2,pulse3)~drug,data=data_drug)
> summary.aov(modle_drug)
Response resp1 :
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
drug 1 0.040833 0.040833 14.412 0.003507 **
Residuals 10 0.028333 0.002833
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Response resp2 :
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
drug 1 0.040833 0.040833 14.412 0.003507 **
Residuals 10 0.028333 0.002833
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Response resp3 :
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
drug 1 0.020833 0.0208333 3.0488 0.1114
Residuals 10 0.068333 0.0068333
Response pulse1 :
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
drug 1 0.65333 0.65333 70 7.936e-06 ***
Residuals 10 0.09333 0.00933
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Response pulse2 :
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
drug 1 1.08000 1.08000 79.024 4.623e-06 ***
Residuals 10 0.13667 0.01367
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Response pulse3 :
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
drug 1 0.75000 0.75000 64.286 1.155e-05 ***
Residuals 10 0.11667 0.01167
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
只有resp3的检验结果为相同，其他都为不同，所以认为两方法的各次重复测定均值向量有显著差异
- t.test()用法:
t.test(x,y=NULL,alternative=c("two.sided","less","greater"),mu=0,...)或
t.test(formula,data,...)
指定x未指定y时，进行单总体的t检验，可以指定mu检验其是否与mu相同
alternative指定双边检验或左尾检验或右尾检验
也可以用formula类的参数，即x~y的类型，y是分组变量，会对不同组的x进行双总体t检验
- wilcox.test()用法：
wilcox.test()用法与t.test()相同，此处不赘述
- HotellingsT2()用法:
HotellingsT2(X,Y=NULL,mu=NULL,test="f",...)或
HotellingsT2(formula,...)
X与Y为矩阵或数据框，未指定Y时进行单总体的检验，可以指定mu检验其是否与mu相同
test参数指定近似统计量，默认为f，即F近似，可以指定"chi"，即卡方近似
可以用formula类参数，与先前用法相同，但是HotellingsT2()没有data参数
- manova()用法:
manova(formula,data,...)
manova()的formula参数用法aov()类似，manova()返回的是多元方差分析的模型，将其赋给某个变量，然后用aov.summary()函数可以看每个变量的检验
2.3 协差阵检验
在进行多元方差分析前需要进行协差阵齐性检验，协差阵检验可以用heplots包内的boxM()函数。
例2.3：
继有无割草机家庭数据，检验两组的协差阵是否有差异
> boxM(data4.1[,-3],group=data4.1[,3])
Box's M-test for Homogeneity of Covariance Matrices
data: data4.1[, -3]
Chi-Sq (approx.) = 0.99346, df = 3, p-value = 0.8028
检验结果为两组协差阵相同
- boxM()用法：
boxM(formula,data,...)或
boxM(Y,group,...)
formula类参数的用法与之前的函数相同
Y是数据矩阵或数据框，group是指定的分组变量
boxM()函数进行的是协差阵齐性检验，在分组变量的水平数大于2时也可以使用
三、小结
总结本文提到的函数和应用场景
| 参数估计 | 正态性检验 | ||
| 函数 | 应用场景 | 函数 | 应用场景 |
| mean() | 计算一维变量的样本均值 | shapiro.test() | 小样本正态性检验 |
| apply() | 对矩阵或数据框的行或列进行运算 | mshapiro.test() | 多元小样本正态性检验 |
| sapply() | 对矩阵或数据框的每个变量进行运算 | sapply() | 对每个变量进行指定运算或检验 |
| summary() | 对数据框使用时返回每个变量的统计描述 | tapply() | 对以分组变量指定的不同组别分别进行指定的运算或检验 |
| cov() | 获取协方差或协差阵 | qqnorm() | 画Q-Q图 |
| cor() | 获取相关系数或相关阵 | qqline() | 在Q-Q图中添加正态标准线 |
| 均值向量检验 | 协差阵检验 | ||
| 函数 | 应用场景 | 函数 | 应用场景 |
| t.test() | 正态样本的单双总体均值检验 | boxM() | 协差阵齐性检验 |
| wilcox.test() | 非正态样本的单双总体均值检验 | ||
| HotellingsT2() | 多元正态样本的单双总体均值检验 | ||
| aov() | 方差齐性情况下的方差分析 | ||
| manova() | 协差阵齐性下的多元方差分析 | ||
| aov.summary() | 获取方差分析模型的检验结果 | ||