dft进行线性卷积matlab,线性卷积的FFT算法及其matlab实现

线性卷积的FFT算法及其matlab实现

线性卷积的FFT算法 线性卷积是求离散系统响应的主要方法之一,许多重要应用都建立在这一理论基础上,如卷积滤波等。 以前曾讨论了用循环卷积计算线性卷积的方法归纳如下: 将长为N2的序列x(n)延长到L,补L-N2个零 将长为N1的序列h(n)延长到L,补L-N1个零 如果L≥N1+N2-1,则循环卷积与线性卷积相等,此时,可有FFT计算线性卷积,方法如下: a.计算X(k)=FFT[x(n)] b.求H(k)=FFT[h(n)] c.求Y(k)=H(k)Y(k) k=0～L-1 d.求y(n)=IFFT[Y(k)] n=0～L-1 可见，只要进行二次FFT,一次IFFT就可完成线性卷积计算。计算表明,L>32时,上述计算线性卷积的方法比直接计算线卷积有明显的优越性,因此,也称上述循环卷积方法为快速卷积法。 上述结论适用于x(n),h(n)两序列长度比较接近或相等的情况,如果x(n),h(n)长度相差较多,例如,h(n)为某滤波器的单位脉冲响应,长度有限,用来处理一个很长的输入信号x(n),或者处理一个连续不断的信号，按上述方法,h(n)要补许多零再进行计算,计算量有很大的浪费，或者根本不能实现。为了保持快速卷积法的优越性,可将x(n)分为许多段后处理,每小段的长与h(n)接近,其处理方法有两种： (1)重叠相加法——由分段卷积的各段相加构成总的卷积输出 假定xi(n)表示图中第i段x(n)序列： 则输入序列可表为： 于是输出可分解为： 其中 由此表明，只要将x(n)的每一段分别与h(n)卷积，然后再将这些卷积结果相加起来就可得到输出序列，这样，每一段的卷积都可用上面讨论的快速卷积来计算。先对h(n)及xi(n)补零，补到具有N点长度，N=N1+N2-1。 一般选择N=2M，然后用基2 FFT算法通过正反变换计算 yi(n)=xi(n)*h(n) 由于yi(n)的长度为N，而xi(n)的长度为N2，因此相邻两yi(n)序列必然有N-N2=N1-1点发生重叠，这个重叠部分应该相加起来才能构成最后的输出序列。 计算步骤： a. 事先准备好滤波器参数H(k)=DFT[h(n)]，N点 b.用N点FFT计算Xi(k)=DFT[xi(n)] c.Yi(k)=Xi(k)H(k) d.用N点IFFT求 yi(n)=IDFT[Yi(k)] e.将重叠部分相加 (2)重叠保存法 这种方法和第一种方法稍有不同，即将上面分图序列中补零的部分不是补零，而是保留原来的输入序列值，且保留在各段的前端，这时，如利用DFT实现h(n)和xi(n)的循环卷积，则每段卷积结果的前N1-1个点不等于线性卷积值需舍去。 为了清楚地看出这点，研究一下x(n)中一段长为N的序列xi(n)与h(n)(长为N1)的循环卷积情况： 由于h(n)的长度为N1，当0≤n≤N1-2时，h((n-m))N将在xi(m)的尾部出现有非零值，如图n=1的情况就是如此，所以0≤n≤N1-2这部分yi(n)值中将混入xi(m)尾部与h((n-m))N的卷积值，从而使yi(n)不同于线性卷积结果，但当n=N1-1～N-1时，则有h((n-m))N =h(n-m)，因此从n=N1-1点开始圆周圈卷积值完全与线性卷积值一样，yi(n)的后面N2点才是正确的卷积值，而每一段卷积运算结果的前N1-1点个值需去掉。 为了不造成输出信号遗漏，对x(n)分段时，需使相邻两段有N1-1个点的重叠(对于第一段，x(n)由于没有前一段保留信号，在其前填补N1-1点个零点)。为此将xi(n)定义为 每段和h(n)的循环卷积以yi(n)表示， ,由FFT算出，去掉yi(n)的前N1-1点，再把相邻各段输出顺次连接起来就构成了最终的输出序列y(n)。 重叠保留法每一输入段均由N-N1+1= N2个新点和前一段保留下来的N1-1个点所组成(N=N1+N2-1)。值得注意的是，对于有限长时间序列x(n)(长度为L=M× N2)，在结束段(i=M-1)做完后，我们所得到的只是L点的线性卷积，还少了N1-1点，实际上就是h(-n)移出x(n)尾部时的不完全重合点，或者说是最后一段的重叠部分(N1-1个点，即每次都要删除的长度，但由于其位于序列尾部，故在其后增加N2个0以再行计算最后一次)少做了一次卷积，为此，应再补做这一段N1-1点，在其后填补N2点个零点保证长度仍为N点，一样舍去前取N1-1点，并从N1-1点开始，保留N2-1点。 重叠保留法与重叠相加法的计算量差不多，但省去了重叠相加法最后的相加运算。一般来说，用FFT作信号滤波，只用于FIR滤波器阶数h(n)大于32的情况下，且取N2=(5～10)N1，这样可接近于最高效的运算。 Matlab实现： function [y] = ovrlpsav(x,h,N) % Overlap-Save of block convolution % ---------------------------------------- % [y] = ovrlpsav(x,h,N) %y=output sequence %x= sequence %h=impulse response %N=block length % Lenx = length(x); M = length(h); M1 = M-1; L = N-M1; %没有发生混叠的部分(实际的线性卷积结果)长 h=[h zeros(1,N-M)]; % x=[zeros(1,M1), x, zeros(1,L)]; % preappend (M-1) zeros K=floor((Lenx+M-1)/(L)); % # of blocks Y=zeros(K+1,N); % convolution with succesive blocks for k=0:K xk = x(k*L+1:k*L+N); Y(k+1,:) = circconv(xk,h,N); %circular convolution end Y=Y(:,M:N) ; % discard the first (M-1) samples y=(Y(:)) ; % assemble output 其中用到的函数： function [y,n] = circconv(x1,x2,N) % implement circle convolution of x1 and x2 % x1 and x2 are sequences of n1, n2 <= N % y is outpu