矩阵十题（6）

经典题目6

poj   3070   Fibonacci

题目链接：http://poj.org/problem?id=3070

给定n和p，求第n个Fibonacci数mod p的值，n不超过2^31
根据前面的 一些思路，现在我们需要构造一个2 x 2的矩阵，使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,a+b)。每多乘一次这个矩阵，这两个数就会多迭代一次。那么，我们把这个2 x 2的矩阵自乘n次，再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。不用多想，这个2 x 2的矩阵很容易构造出来：

代码如下：

 1 #include<stdio.h>

 2 #include<string.h>

 3 #define N 10

 4 struct Matrix

 5 {

 6     int a[N][N];

 7 }origin,res,tmp,ans;

 8 int n,m;

 9 Matrix mul(Matrix x,Matrix y)

10 {

11     int i,j,k;

12     memset(tmp.a,0,sizeof(tmp.a));

13     for(i=1;i<=n;i++)

14         for(j=1;j<=n;j++)

15             for(k=1;k<=n;k++)

16             {

17                 tmp.a[i][j]+=(x.a[i][k]*y.a[k][j])%m;

18                 tmp.a[i][j]%=m;

19             }

20     return tmp;

21 }

22 void quickpow(int k)  //矩阵快速幂

23 {

24     int i;

25     memset(res.a,0,sizeof(res.a));

26     for(i=1;i<=n;i++)

27         res.a[i][i]=1;

28     while(k)

29     {

30         if(k&1)

31             res=mul(res,origin);

32         origin=mul(origin,origin);

33         k>>=1;

34     }

35 }

36 int main()

37 {

38     int k;

39     n=2;

40     m=10000;

41     while(scanf("%d",&k)&&k!=-1)

42     {

43         origin.a[1][1]=0;  //初始化矩阵A

44         origin.a[1][2]=1;

45         origin.a[2][1]=1;

46         origin.a[2][2]=1;

47         quickpow(k);

48         memset(tmp.a,0,sizeof(tmp.a));   //相当于| 0 |

49         tmp.a[2][1]=1;                   //      | 1 |

50         ans=mul(res,tmp);   

51     /*    for(int i=1;i<=n;i++)

52         {

53             for(int j=1;j<=n;j++)

54                 printf("%d ",res.a[i][j]);

55             printf("\n");

56         }*/

57         printf("%d\n",ans.a[1][1]%m);

58     }

59     return 0;

60 }

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此外，根据题目的描述，也可以不用构造矩阵

由于斐波那契数列满足

故只需求矩阵 A = 的n次幂mod 10000，结果保存在res.a中，然后输出res.a[1][2]mod 10000即可

直接矩阵快速幂就行了。

代码如下：

 1 #include<stdio.h>

 2  #include<string.h>

 3  #define N 10

 4  struct Matrix

 5  {

 6      int a[N][N];

 7  }origin,res,tmp;

 8  int n,m;

 9  Matrix mul(Matrix x,Matrix y)

10  {

11      int i,j,k;

12      memset(tmp.a,0,sizeof(tmp.a));

13      for(i=1;i<=n;i++)

14          for(j=1;j<=n;j++)

15              for(k=1;k<=n;k++)

16              {

17                  tmp.a[i][j]+=(x.a[i][k]*y.a[k][j])%m;

18                  tmp.a[i][j]%=m;

19              }

20      return tmp;

21  }

22  void quickpow(int k)  //矩阵快速幂

23  {

24      int i;

25      memset(res.a,0,sizeof(res.a));

26      for(i=1;i<=n;i++)

27          res.a[i][i]=1;

28      while(k)

29      {

30          if(k&1)

31              res=mul(res,origin);

32          origin=mul(origin,origin);

33          k>>=1;

34      }

35  }

36  int main()

37  {

38      int k;

39      n=2;

40      m=10000;

41      while(scanf("%d",&k)&&k!=-1)

42      {

43          origin.a[1][1]=1;  //初始化矩阵A

44          origin.a[1][2]=1;

45          origin.a[2][1]=1;

46          origin.a[2][2]=0;

47          quickpow(k);

48          printf("%d\n",res.a[1][2]%m);

49      }

50      return 0;

51  }

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