2432: [Noi2011]兔农 - BZOJ

Description

 农夫栋栋近年收入不景气，正在他发愁如何能多赚点钱时，他听到隔壁的小朋友在讨论兔子繁殖的问题。

问题是这样的：第一个月初有一对刚出生的小兔子，经过两个月长大后，这对兔子从第三个月开始，每个月初生一对小兔子。新出生的小兔子生长两个月后又能每个月生出一对小兔子。问第n个月有多少只兔子？

聪明的你可能已经发现，第n个月的兔子数正好是第n个Fibonacci(斐波那契)数。栋栋不懂什么是Fibonacci数，但他也发现了规律：第i+2个月的兔子数等于第i个月的兔子数加上第i+1个月的兔子数。前几个月的兔子数依次为：

1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

栋栋发现越到后面兔子数增长的越快，期待养兔子一定能赚大钱，于是栋栋在第一个月初买了一对小兔子开始饲养。

每天，栋栋都要给兔子们喂食，兔子们吃食时非常特别，总是每k对兔子围成一圈，最后剩下的不足k对的围成一圈，由于兔子特别害怕孤独，从第三个月开始，如果吃食时围成某一个圈的只有一对兔子，这对兔子就会很快死掉。

我们假设死去的总是刚出生的兔子，那么每个月的兔子数仍然是可以计算的。例如，当k=7时，前几个月的兔子数依次为：

1 1 2 3 5 7 12 19 31 49 80 …

给定n，你能帮助栋栋计算第n个月他有多少对兔子么？由于答案可能非常大，你只需要告诉栋栋第n个月的兔子对数除p的余数即可。
Input



输入一行，包含三个正整数n, k, p。
Output

 

输出一行，包含一个整数，表示栋栋第n个月的兔子对数除p的余数。
Sample Input


6 7 100

Sample Output


7
HINT

 1<=N<=10^18

2<=K<=10^6

2<=P<=10^9

 

 

简单题解：斐波那契数列在mod k的意义下有循环节，长度在6*k之内

我们要求的数列mod k之后是这样的1，1，2，3....a，0，1*a，1*a，2*a .... b，0，1*b 2*b ... 0

1 a b...这个数列也是有循环节的（可以通过求逆元求出这个数列），这个循环节长度在k以内（可能没有循环，后面mod k都不为1），然后加上矩阵快速幂即可

详细题解：斐波那契数列在mod k的意义下有循环节，长度在6*k之内

因为*/%……@%@￥%@￥#%…*&！@￥@￥%&*/@%

你们还是看VFK的吧

  1 const

  2     maxk=1001000;

  3 type

  4     matrix=array[1..3,1..3]of int64;

  5 var

  6     a:array[0..maxk*6]of longint;

  7     first,last,b,len:array[0..maxk]of longint;

  8     pre:array[0..maxk]of longint;

  9     n,k,p,x,y:int64;

 10     ans,aa,bb:matrix;

 11 

 12 procedure exgcd(a,b:int64);

 13 var

 14     t:int64;

 15 begin

 16     if b=0 then

 17     begin

 18         if a=1 then x:=1

 19         else x:=0;

 20         y:=0;

 21         exit;

 22     end;

 23     exgcd(b,a mod b);

 24     t:=x;

 25     x:=y;

 26     y:=t-(a div b)*y;

 27 end;

 28 

 29 procedure work;

 30 var

 31     i:longint;

 32 begin

 33     a[1]:=1;a[2]:=1;i:=2;

 34     while true do

 35         begin

 36             inc(i);

 37             a[i]:=(a[i-1]+a[i-2])mod k;

 38             if first[a[i]]=0 then first[a[i]]:=i;

 39             if (a[i]=1) and (a[i-1]=1) then break;

 40         end;

 41     for i:=1 to k-1 do

 42         begin

 43             exgcd(i,k);

 44             pre[i]:=(x mod k+k)mod k;

 45         end;

 46     b[1]:=1;last[1]:=1;i:=1;

 47     while true do

 48         begin

 49             len[i]:=first[pre[b[i]]]-1;

 50             if len[i]<0 then break;

 51             inc(i);

 52             b[i]:=int64(a[len[i-1]])*b[i-1]mod k;

 53             if last[b[i]]>0 then break;

 54             last[b[i]]:=i;

 55         end;

 56     aa[1,2]:=1;aa[2,1]:=1;aa[2,2]:=1;aa[3,3]:=1;

 57     bb:=aa;bb[3,2]:=p-1;

 58 end;

 59 

 60 operator *(a,b:matrix)c:matrix;

 61 var

 62     i,j,k:longint;

 63 begin

 64     fillchar(c,sizeof(c),0);

 65     for i:=1 to 3 do

 66         for j:=1 to 3 do

 67             for k:=1 to 3 do

 68                 c[i,k]:=(c[i,k]+a[i,j]*b[j,k])mod p;

 69 end;

 70 

 71 function f(a:matrix;n:int64):matrix;

 72 begin

 73     fillchar(f,sizeof(f),0);

 74     f[1,1]:=1;f[2,2]:=1;f[3,3]:=1;

 75     while n>0 do

 76         begin

 77             if n and 1=1 then f:=f*a;

 78             a:=a*a;

 79             n:=n>>1;

 80         end;

 81 end;

 82 

 83 procedure main;

 84 var

 85     i,j:longint;

 86     s:matrix;

 87     sum:int64;

 88 begin

 89     read(n,k,p);

 90     if n<3 then

 91     begin

 92         writeln(1);

 93         exit;

 94     end;

 95     work;

 96     ans[1,1]:=1;ans[2,2]:=1;ans[3,3]:=1;

 97     if n>len[1] then

 98         begin

 99             dec(n,len[1]+1);

100             ans:=ans*f(aa,len[1]-2)*bb;

101         end

102     else

103         begin

104             ans:=ans*f(aa,n-2);

105             n:=0;

106         end;

107     i:=2;

108     while n>0 do

109         begin

110             if pre[b[i]]=0 then

111             begin

112                 ans:=ans*f(aa,n);

113                 n:=0;

114                 break;

115             end;

116             if len[i]<0 then

117             begin

118                 ans:=ans*f(aa,n);

119                 n:=0;

120                 break;

121             end;

122             if last[b[i]]<i then break;

123             if n>len[i] then

124                 begin

125                     dec(n,len[i]+1);

126                     ans:=ans*f(aa,len[i])*bb;

127                 end

128             else

129                 begin

130                     ans:=ans*f(aa,n);

131                     n:=0;

132                 end;

133             inc(i);

134         end;

135     if n=0 then

136     begin

137         writeln((ans[1,2]+ans[2,2]+ans[3,2])mod p);

138         exit;

139     end;

140     j:=i;

141     sum:=0;

142     fillchar(s,sizeof(s),0);

143     s[1,1]:=1;s[2,2]:=1;s[3,3]:=1;

144     for i:=last[b[j]] to j-1 do

145         begin

146             inc(sum,len[i]+1);

147             s:=s*f(aa,len[i])*bb;

148         end;

149     ans:=ans*f(s,n div sum);

150     n:=n mod sum;

151     i:=last[b[j]];

152     while n>0 do

153         begin

154             if n>len[i] then

155                 begin

156                     ans:=ans*f(aa,len[i])*bb;

157                     dec(n,len[i]+1);

158                 end

159             else

160                 begin

161                     ans:=ans*f(aa,n);

162                     n:=0;

163                 end;

164             inc(i);

165         end;

166     writeln((ans[1,2]+ans[2,2]+ans[3,2])mod p);

167 end;

168 

169 begin

170     main;

171 end.

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