【数据结构与算法】时间复杂度与空间复杂度

前言

在我们学习具体的数据结构之前，我们先进行时间复杂度与空间复杂度的学习，它无论是对我们的代码效率的提升还是之后面试笔试题都是非常重要的部分，学习数据结构时不能忽视了对时间复杂度与空间复杂度的学习。

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一、算法效率

算法的效率分为两种：

1、时间效率
2、空间效率

时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

二、时间复杂度

1、时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

2、时间复杂度计算方法

1）大O的渐近表示法

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐近表示法（大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号）。

推导大O阶方法：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶

见下面这个代码：

// 请计算一下Func1基本操作执行了多少次？
void Func1(int N)
{
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < N ; ++ i)
    {
        for (int j = 0; j < N ; ++ j)
        {
            ++count;
        }
    }
    for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    {
        ++count;
    }

    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }

    printf("%d\n", count);
}

根据语句得出该代码的准确的次数为：O(N) = N ^ 2 + 2 * N + 10。根据大O阶的推导方法可得Func1的时间复杂度为：O(N^2）根据语句得出该代码的准确的次数为：O(N) = N ^ 2 + 2 * N + 10。根据大O阶的推导方法可得Func1的时间复杂度为：O(N^2）

通过其时间复杂度我们可以看出大O的渐近表示法去除掉了对结果影响不大的项，简介明了地表示出了执行次数。随着N的增大，这个表达式中N^2项对结果影响是最大的，时间复杂度是一个估算，是去看表达式中影响最大的那一项。

2）最好、最坏、平均复杂度

• 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
• 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
• 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到

一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

二、常见时间复杂度计算举例

实例一：

//计算其时间复杂度
void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

该代码的时间复杂度为：O(N)

实例二：

// 计算其时间复杂度
void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++ k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

该代码的时间复杂度为O(M+N)

若给出假设：
假设①：M远大于N，其时间复杂度为：O(N)
假设②：M和N差不多大，其时间复杂度为：O(M)或O(N)

实例三：

// 计算其时间复杂度
void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++ k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

该代码的时间复杂度为O(1)
确定的常数次都是0(1)

实例四：

// 计算其时间复杂度
const char * strchr ( const char * str, char character )
{
	while(*str != '\0')
	{
		if(*str == character)
			return str;
		++str;
	}
	
	return NULL;
}

该代码的时间复杂度需要分情况讨论。
最好情况：O(N)；最坏情况：O(N)；平均情况：O(N/2)

实例五：

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i-1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i-1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		
		if (exchange == 0)
		break;
	}
}

该算法为冒泡排序，我们先来分析一下它的比较次数：
第一趟冒泡：N
第二趟冒泡：N-1
第三趟冒泡：N-2
…
第N趟冒泡：1
故其准确次数为：（N+1）* N / 2
故其时间复杂度为：O(N^2)

实例六

// 计算BinarySearch的时间复杂度
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	
	int begin = 0;
	int end = n;
	while (begin < end)
	{
		int mid = begin + ((end-begin)>>1);
		if (a[mid] < x)
		begin = mid+1;
		else if (a[mid] > x)
		end = mid;
		else
		return mid;
	}
	
	return -1;
}

该代码为二分查找（折半查找）代码，其前提是数组有序，其最好情况：O(1)
我们现在来分析最坏情况：
假设找了x次
1222…*2 = N => 每次查找减少一半元素
2^x = N => x = log₂N
算法的复杂度计算喜欢省略简写为logN,因为很多地方不好写底数。

实例七：

// 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度
long long Factorial(size_t N)
{
	return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}

常见的时间复杂度：
O(N^2) O(N) O(logN) O(1)

三、空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

1、空间复杂度的概念

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

四、常见空间复杂度计算举例

实例一：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i-1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i-1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

两个形参+三个变量

时间是累计的，空间是不累计的==>循环走了N次，重复利用同一个空间。空间复杂度为：O(1)

实例二：

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if(n==0)
		return NULL;
		
	long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n ; ++i)
	{
		fibArray[i ] = fibArray[ i - 1] + fibArray [i - 2];
	}
	
	return fibArray ;
}

其空间复杂度为：O(N)。其动态开辟了n个空间

实例三：

// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
	return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}

递归调用了N层，每次调用建立一个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间(O(1))

其空间复杂度为：O(N)

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