Deep learning：四(logistic regression练习)

 

　　前言：

　　本节来练习下logistic regression相关内容，参考的资料为网页：http://openclassroom.stanford.edu/MainFolder/DocumentPage.php?course=DeepLearning&doc=exercises/ex4/ex4.html。这里给出的训练样本的特征为80个学生的两门功课的分数，样本值为对应的同学是否允许被上大学，如果是允许的话则用’1’表示，否则不允许就用’0’表示，这是一个典型的二分类问题。在此问题中，给出的80个样本中正负样本各占40个。而这节采用的是logistic regression来求解，该求解后的结果其实是一个概率值，当然通过与0.5比较就可以变成一个二分类问题了。

 

　　实验基础：

　　在logistic regression问题中，logistic函数表达式如下：

　　

　　这样做的好处是可以把输出结果压缩到0~1之间。而在logistic回归问题中的损失函数与线性回归中的损失函数不同，这里定义的为：

 　　

　　如果采用牛顿法来求解回归方程中的参数，则参数的迭代公式为：

 　　

　　其中一阶导函数和hessian矩阵表达式如下：

 　　

　　当然了，在编程的时候为了避免使用for循环，而应该直接使用这些公式的矢量表达式（具体的见程序内容）。

 

　　一些matlab函数：

　　find:

　　是找到的一个向量，其结果是find函数括号值为真时的值的下标编号。

　　inline:

　　构造一个内嵌的函数，很类似于我们在草稿纸上写的数学推导公式一样。参数一般用单引号弄起来，里面就是函数的表达式，如果有多个参数，则后面用单引号隔开一一说明。比如：g = inline('sin(alpha*x)','x','alpha')，则该二元函数是g(x,alpha) = sin(alpha*x)。

 

 

　　实验结果：

　　训练样本的分布图以及所学习到的分类界面曲线：

 　　

　　损失函数值和迭代次数之间的曲线：

 　　

　　最终输出的结果：

 　　

　　可以看出当一个小孩的第一门功课为20分，第二门功课为80分时，这个小孩不允许上大学的概率为0.6680，因此如果作为二分类的话，就说明该小孩不会被允许上大学。

 

　　实验代码（原网页提供）：

% Exercise 4 -- Logistic Regression



clear all; close all; clc



x = load('ex4x.dat'); 

y = load('ex4y.dat');



[m, n] = size(x);



% Add intercept term to x

x = [ones(m, 1), x]; 



% Plot the training data

% Use different markers for positives and negatives

figure

pos = find(y); neg = find(y == 0);%find是找到的一个向量，其结果是find函数括号值为真时的值的编号

plot(x(pos, 2), x(pos,3), '+')

hold on

plot(x(neg, 2), x(neg, 3), 'o')

hold on

xlabel('Exam 1 score')

ylabel('Exam 2 score')





% Initialize fitting parameters

theta = zeros(n+1, 1);



% Define the sigmoid function

g = inline('1.0 ./ (1.0 + exp(-z))'); 



% Newton's method

MAX_ITR = 7;

J = zeros(MAX_ITR, 1);



for i = 1:MAX_ITR

    % Calculate the hypothesis function

    z = x * theta;

    h = g(z);%转换成logistic函数

    

    % Calculate gradient and hessian.

    % The formulas below are equivalent to the summation formulas

    % given in the lecture videos.

    grad = (1/m).*x' * (h-y);%梯度的矢量表示法

    H = (1/m).*x' * diag(h) * diag(1-h) * x;%hessian矩阵的矢量表示法

    

    % Calculate J (for testing convergence)

    J(i) =(1/m)*sum(-y.*log(h) - (1-y).*log(1-h));%损失函数的矢量表示法

    

    theta = theta - H\grad;%是这样子的吗？

end

% Display theta

theta



% Calculate the probability that a student with

% Score 20 on exam 1 and score 80 on exam 2 

% will not be admitted

prob = 1 - g([1, 20, 80]*theta)



%画出分界面

% Plot Newton's method result

% Only need 2 points to define a line, so choose two endpoints

plot_x = [min(x(:,2))-2,  max(x(:,2))+2];

% Calculate the decision boundary line，plot_y的计算公式见博客下面的评论。

plot_y = (-1./theta(3)).*(theta(2).*plot_x +theta(1));

plot(plot_x, plot_y)

legend('Admitted', 'Not admitted', 'Decision Boundary')

hold off



% Plot J

figure

plot(0:MAX_ITR-1, J, 'o--', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 8)

xlabel('Iteration'); ylabel('J')

% Display J

J

 

 

 

 

　　参考资料：

     http://openclassroom.stanford.edu/MainFolder/DocumentPage.php?course=DeepLearning&doc=exercises/ex4/ex4.html