☀️光天化日学C语言☀️（18）- 位运算 ＜＜ 的应用 | 左移的一些高端用法

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一、前言

  本文作者是从 2007 年开始学 C语言 的，不久又接触了C++，基本就是 C/C++ 技术栈写了 14 年的样子，不算精通，但也算差强人意。著有《夜深人静写算法》系列，且承诺会持续更新，直到所有算法都学完。主要专攻 高中 OI 、大学 ACM、 职场 LeetCode 的全领域算法。由于文章中采用 C/C++ 的语法，于是就有不少读者朋友反馈语言层面就被劝退了，更何况是算法。
  于是，2021 年 06 月 12 日，《光天化日学C语言》 应运而生。这个系列文章主要服务于高中生、大学生以及职场上想入坑C语言的志同道合之人，希望能给祖国引入更多编程方面的人才，并且让自己的青春不留遗憾！
  这一章的主要内容是左移运算符的应用。

二、人物简介

• 第一位登场的就是今后会一直教我们C语言的老师 —— 光天。
  
• 第二位登场的则是今后会和大家一起学习C语言的没什么资质的小白程序猿 —— 化日。
  

三、左移运算符

1、左移的二进制形态

• 左移运算符是一个二元的位运算符，也就是有两个操作数，表示为x << y。其中x和y均为整数。
• x << y念作：“将 $x$ 左移 $y$ 位”，这里的位当然就是二进制位了，那么它表示的意思也就是：先将 $x$ 用二进制表示，然后再左移 $y$ 位，并且在尾部添上 $y$ 个零。
• 举个例子：对于二进制数 $23_{10}=(10111{)}_2$ 左移 $y$ 位的结果就是：
  $$(10111\underset{\mathrm{y}}{0...0}{)}_2$$

2、左移的执行结果

• x << y的执行结果等价于：
• $$x\times 2^y$$
• 如下代码：

#include 
int main() {
     
    int x = 3;
    int y = 5;
    printf("%d\n", x << y);
    return 0;
}

• 输出结果为：

96

• 正好符合这个左移运算符的实际含义：
• $$96=3\times 2^5$$

最常用的就是当 $x=1$ 时，1 << y代表的就是 $2^y$，即 2 的幂。

3、负数左移的执行结果

• 所谓负数左移，就是x << y中，当x为负数的情况，代码如下：

#include 
int main() {
     
    printf("%d\n", -1 << 1);
    return 0;
}

• 它的输出如下：

-2

• 我们发现同样是满足 $x\times 2^y$ 的，这个可以用补码来解释，-1的补码为：
• $$11111111111111111111111111111111$$
• 左移一位后，最高位的 1 就没了，低位补上 0，得到：
• $$11111111111111111111111111111110$$
• 而这，正好是 -2的补码，同样，继续左移 1 位，得到：
• $$11111111111111111111111111111100$$
• 这是-4的补码，以此类推，所以负整数的左移结果同样也是 $x\times 2^y$。

可以理解成 - (x << y)和(-x) << y是等价的。

4、左移负数位是什么情况

• 刚才我们讨论了 $x<0$ 的情况，那么接下来，我们试下 $y<0$ 的情况会是如何？
• 是否同样满足：$x\times 2^y$ 呢？
• 如果还是满足，那么两个整数的左移就有可能产生小数了。
• 看个例子：

#include 
int main() {
     
    printf("%d\n", 32 << -1);   // 16
    printf("%d\n", 32 << -2);   // 8
    printf("%d\n", 32 << -3);   // 4
    printf("%d\n", 32 << -4);   // 2
    printf("%d\n", 32 << -5);   // 1
    printf("%d\n", 32 << -6);   // 0
    printf("%d\n", 32 << -7);   // 0
    return 0;
}

• 虽然能够正常运行，但是结果好像不是我们期望的，而且会报警告如下：

[Warning] left shift count is negative [-Wshift-count-negative]

• 实际上，编辑器告诉我们尽量不用左移的时候用负数，但是它的执行结果不能算错误，起码例子里面对了，结果不会出现小数，而是取整了。
• 左移负数位其实效果和右移对应正数数值位一致，右移相关的内容，我们会在 光天化日学C语言（19）- 位运算 >> 的应用 中讲到。

5、左移时溢出会如何

• 我们知道，int类型的数都是 32 位的，最高位代表符号位，那么假设最高位为 1，次高位为 0，左移以后，符号位会变成 0，会产生什么问题呢？
• 举个例子，对于 $-2^{31}+1$ 的二进制表示为：最高位和最低位为1，其余为零。

#include 
int main() {
     
    int x = 0b10000000000000000000000000000001;
    printf("%d\n", x);                          // -2147483647
    return 0;
}

• 输出结果为：

-2147483647

• 那么，将它进行左移一位以后，得到的结果是什么呢？

#include 
int main() {
     
    int x = 0b10000000000000000000000000000001;
    printf("%d\n", x << 1);
    return 0;
}

• 我们盲猜一下，最高位的 1 被移出去，最低位补上 0，结果应该是0b10。
• 实际输出的结果，的确是：

2

• 但是如果按照 $x\times 2^y$ 答案应该是 $$(-2^{31}+1)\times 2=-2^{32}+2$$
• 这里又回到了补码的问题上，事实上，在计算机中，int整型其实是一个环，溢出以后又会回来，而环的长度正好是 $2^{32}$，所以$-2^{32}+2=2$，这个就有点像同余的概念，这两个数是模 $2^{32}$ 同余的。更多关于同余的知识，可以参考我的算法系列文章：夜深人静写算法（三）- 初等数论入门（学生党记得找我开试读）。

四、左移运算符的应用

1、取模转化成位运算

• 对于 $x$ 模上一个 2 的次幂的数 $y$，我们可以转换成位与上 $2^y-1$。
• 即在数学上的：
• $$xmod{2}^y$$
• 在计算机中就可以用一行代码表示：x & ((1 << y) - 1)。

2、生成标记码

  我们可以用左移运算符来实现标记码，即1 << k作为第 $k$ 个标记位的标记码，这样就可以通过一句话，实现对标记位置 0、置 1、取反等操作。

1）标记位置1

【例题1】对于 $x$ 这个数，我们希望对它二进制位的第 $k$ 位（从0开始，从低到高数）置为 1。

• 置 1 操作，让我们联想到了 位或 运算。
• 它的特点是：位或上 1，结果为 1；位或上0，结果不变。
• 所以我们对标记码的要求是：第 $k$ 位为 1，其它位为 0，正好是(1 << k)，那么将 第 $k$ 位 置为 1 的语句可以写成：x | (1 << k)。
• 有关位或运算的更多内容，可以参考：光天化日学C语言（15）- 位运算 | 的应用。

2）标记位置0

【例题2】对于 $x$ 这个数，我们希望对它二进制位的第 $k$ 位（从0开始，从低到高数）置为 0。

• 置 0 操作，让我们联想到了 位与 运算。
• 它的特点是：位与上 0，结果为 0；位与上 1，结果不变。
• 所以在我们对标记码的要求是：第 $k$ 位为 0，其它位为 1，我们需要的是(~(1 << k))，那么将 第 $k$ 位 置为 0 的语句可以写成：x & (~(1 << k))。
• 有关位与运算的更多内容，可以参考：光天化日学C语言（14）- 位运算 & 的应用。
• 有关 按位取反 运算的更多内容，可以参考：光天化日学C语言（17）- 位运算 ~ 的应用。

3）标记位取反

【例题3】对于 $x$ 这个数，我们希望对它二进制位的第 $k$ 位（从0开始，从低到高数）取反。

• 取反操作，联想到的是 异或 运算。
• 它的特点是：异或上 1，结果取反；异或上 0，结果不变。
• 所以我们对标记码的要求是：第 $k$ 位为1，其余位为 0，其值为(1 << k)。那么将 第 $k$ 位 取反的语句可以写成：x ^ (1 << k)。
• 有关 异或 运算的更多内容，可以参考：光天化日学C语言（16）- 位运算 ^ 的应用。

3、生成掩码

• 同样，我们可以用左移来生成一个掩码，完成对某个数的二进制末 $k$ 位执行一些操作。
• 对于(1 << k)的二进制表示为：1 加上 k 个 0，那么 (1 << k) - 1的二进制则代表 $k$ 个 1。
• 把末尾的 $k$ 位都变成 1，可以写成：x | ((1 << k) - 1)。
• 把末尾的 $k$ 为都变成 0，可以写成：x & ~((1 << k) - 1)。
• 把末尾的 $k$ 位都取反，可以写成：x ^ ((1 << k) - 1)。

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通过这一章，我们学会了：
  1）位运算 << 的用法；
  2）用 << 来生成标记位；
  3）用 << 来生成掩码；

• 希望对你有帮助哦 ~ 祝大家早日成为 C 语言大神！

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课后习题

• 【第43题】左移的应用 | 一句话判断一个数是否是 2 的幂

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