一、卡方分布
1. 卡方分布的定义
设随机变量 ，则随机变量 ，且 的概率密度函数为：
证明：
积分区域 是一个球形区域，切换到球坐标下，可得：
， 是一个与 无关的常数
根据归一化，
这就证明了卡方分布的概率密度函数。
2. 卡方分布的可加性
设独立的随机变量 ，则
证明：
这就证明了 符合自由度为 的卡方分布。这可以推广到多个随机变量的情况：
若相互独立的随机变量 ，则
3. 卡方分布的数字特征
设随机变量 ，则 的矩母函数为
证明：
由卡方分布的矩母函数，可得出 的 阶矩：
由此可得卡方分布得期望为 ，方差为
设随机变量 ，则 的期望为
证明：
，做变量替换
，此式当 时成立
同理，可以证明 ，当 时成立。
4. 卡方分布的分解
正态随机变量：设随机变量 ，则
证明：
由于 的概率密度函数为：
即随机变量 ，根据卡方分布的可加性可得
这就说明了自由度为 的卡方分布可以分解为 个独立的标准正态分布随机变量的平方和，这也是卡方分布的定义。
指数随机变量：设随机变量 ，则
证明：
由于 的概率密度函数为：
即随机变量 ，根据卡方分布的可加性可得
这就说明了 个独立的指数分布随机变量的和的 倍符合自由度为 的卡方分布。
5. 正态分布的样本方差
设随机变量 ，样本均值 ，样本方差 ，则有：
，且 与 独立。
证明：
可以找到一个 阶正交矩阵 ， 中第一行的元素都是 ，对随机向量 进行正交变换：
随机向量 ，则有逆变换 ，此正交变换具有以下3个性质：
1. 向量的模不变，即： ；
2. 逆变换的雅可比行列式为 ，即： ；
3. ；
随机向量 的联合分布密度函数为：
从随机向量 的联合分布密度函数可以得出以下结论：
1. ；
2. ；
3. 相互独立；
下面对命题中的结论进行证明：
可以看到：
1. 是 的函数， 是 的函数，所以 与 相互独立；
2. 是 个标准正态随机变量的平方和，所以服从自由度为 的卡方分布；
二、t分布
1. t 分布的定义
设随机变量 ， 相互独立，则随机变量 ，且 的概率密度函数为：
，其中 为 t 分布的自由度。
证明：
设 为标准正态分布的概率密度函数， 为卡方分布的概率密度函数，那么随机变量 的概率密度函数为：
由随机变量商的概率密度函数公式，可得随机变量 的概率密度函数为：
做变量替换 ，则有：
2. t 分布的数字特征
由于 t 分布的概率密度函数是关于原点对称的偶函数，那么它的期望为 0， 但仅限于自由度大于1的情况。
设随机变量 ，那么下面的绝对值积分为：
由于此积分发散，所以当 分布的自由度为 1 时期望不存在。
根据 t 分布的定义以及卡方分布的倒数的期望，可得 t 分布的方差就是它的二阶矩，有：
即自由度为 的 t 分布的方差为 ，仅当 时成立。
三、F 分布
1. F 分布的定义
设随机变量 ，相互独立，则随机变量 ，且 的概率密度函数为：
，其中 为 F 分布的自由度。
证明：
设 分别为自由度为 的 分布的概率密度函数，则随机变量 的概率密度函数分别为：
由随机变量商的概率密度函数公式，可得随机变量 的概率密度函数为：
做变量替换 ，则有：
2. F 分布的数字特征
根据 F 分布的定义以及卡方分布的倒数的期望，可以直接计算 F 分布的期望为：
此结果仅在分母的自由度 时成立，当 时，F 分布的期望不存在。（如何证明呢？）
根据 F 分布的定义以及卡方分布的倒数的平方的期望，可以得到 F 分布的二阶矩为：
那么 F 分布的方差为：
此结果仅在分母的自由度 时成立。
设 为自由度为 的 F 分布的 上分位点，则有：
证明：
根据 F 分布的定义，有：
。。。