贝叶斯（Bayesian）

关注贝叶斯的原因是看不懂这篇论文：Surprise! Bayesian Weighting for De-Biasing Thematic Maps。这篇可视化的文章引入了贝叶斯理论，将不符合预期分布的区域突出显示了，作者认为那个部分的内容更有可视化的价值。然后问题就来了，什么是贝叶斯？阮一峰的博客有简单的介绍，例子比较容易懂：http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/12/naive_bayes_classifier.html

贝叶斯的定义

关于贝叶斯定理几个解释

P(A|B)是B事件发生的情况下，A事件发生的概率是多少？假设A指代“下雨”，B指代“公交延误”，那么P(A|B)指的就是在公交延误的情形中，下雨的概率是多少。我们可以假定输入的数据集为：

A（下雨）B（公交延误）：（1,0），（0,0），（1,1），（1,1），（0,1），（1,0）

那么通过统计计算P(A|B)=2/3，P(B|A)=2/4=1/2。现在让我们来验证定理，P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)=2/3 与通过统计计算的结果是一致的。

贝叶斯有什么用？

假设数据集非常完备，特别是如今的大数据时代，我们可以收集到近乎完整的样本，这样便可以通过贝叶斯公式进行事件的估计。根据之前的样本和计算结果，我们可以得出，假设今天下雨了，那么公交延误的概率应该是1/2。如果发生的事件非常多的话，贝叶斯可以用做事件分类。

贝叶斯分类器

我们现在扩充集合A和B，A（小雨，大雨，下雪）B（公交延误，地铁延误，轮渡延误，飞机延误），我们称A集合中的子集为Category，我们假设每条数据只能属于一个Category，B中的子集为Feature，贝叶斯分类器的作用就是基于已有的Feature和Category数据，再跟进输入的数据做分析，得出该输入属于哪个Category。

用做训练的数据假定是：

A（小雨），B（公交延误，地铁延误）

A（大雨），B（公交延误，地铁延误，飞机延误）

A（小雨），B（公交延误）

A（小雨），B（地铁延误）

A（大雨），B（地铁延误，飞机延误）

A（下雪），B（公交延误，地铁延误，飞机延误）

于是P(A|B)=P(B1B2...Bn|A)P(A)/P(B1B2...Bn)，如果B1B2...Bn之间相互不独立的话，计算是非常麻烦的，于是有人就提出了假设，假设B1B2...Bn之前彼此是相互独立的，基于这种假设的贝叶斯叫朴素贝叶斯:P(A|B)=[P(B1|A)P(B2|A)...P(Bn|A)]P(A)/P(B1B2...Bn)

特殊的例子

如果输入B的值在训练集中没有对应的数据，就需要用正态分布来估计数据的值。让我们看一个新的数据集：A（小雨，大雨，下雪）B（温度，风速，空气质量AQI）：

A（小雨）B（25，2，50）

A（小雨）B（22，1，45）

A（小雨）B（27，3，53）

A（大雨）B（20，4，45）

A（大雨）B（19，3，59）

A（下雪）B（18，5，66）

假设现在输入一组数据B（B1,B2,B3）=(24,2,51)，求P(A|B)，其实就是分别求P(小雨|B)，P(大雨|B)，P(下雪|B)。根据贝叶斯定理得P(小雨|B)=P(B|小雨)P(A)/P(B)。假定B事件各个部分相互独立，可得P(小雨|B)=P(B|小雨)P(A)/P(B)=[ P(B1|小雨)P(B2|小雨) P(B3|小雨)]P(A)/[P(B1)P(B2)P(B3)]，P(B1|小雨)=P(24|小雨)是其中的一个未知量，让我们详细讨论这个量的求解过程。

因为24这个值原数据集中没有，所以就需要用正态分布做估算。现统计原始数据集中小雨的情况，小雨情况的温度的期望为：24.6（平均值估计期望），方差1.187，利用正态分布的公式可求得，温度值为24时，天气为小雨的概率密度是0.285，求解方法如下：

概率密度估计

其他几个分量的计算参考上面的公式p(24,小雨)就好了。最后可以分别求出P(小雨|B)，P(大雨|B)，P(下雪|B)的概率，选择概率最大的做为最后的分类结果。