现代数字信号处理课后作业【第一章】

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Author: Peter
Date:2020-10-09
Location:FZU

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第一章

1-2 判断下列序列是否为周期序列，若是，确定其周期

(1) $x(n)=Acos(\frac{3\pi n}{7}-\frac{\pi }{8})$

∵$\omega =\frac{2\pi N}{T}=\frac{3\pi }{7}$

∴$T=\frac{14N}{3}$

∵当N=3时，T=14为x(n)的最小周期

(2) $x(n)=e^{j(\frac{n}{8}-\pi )}$

∵$x(n)=cos(\frac{n}{8}-\pi )-jsin(\frac{n}{8}-\pi )$

∵$\omega =\frac{2\pi N}{T}=\frac{1}{8}$

∴$T=16\pi N$

∵T中含有$\pi$，T不能为整数

∴x(n)不是周期序列

1-3 系统框图如下，已知边界条件为y(-1)=0,分别求出以下输入序列时的y(n),并画出图形,其中$y(n)=x(n)+\frac{1}{3}y(n-1)$

(1) $x(n)=\delta (n)$

• 时域求解零输入:
  ∵差分方程为$y(n)-\frac{1}{3}y(n-1)=x(n)$
  ∴特征方程为$\alpha -\frac{1}{3}=0$
  ∴$y_{zi}(n)=C_1{\alpha }^n=C_1(\frac{1}{3}{)}^n$
• 频域求解零状态:
  ∵由双边Z变换得$Y(z)(1-\frac{1}{3}{z}^{-1})=X(z)$
  ∴$Y(z)=\frac{X(z)}{1-\frac{1}{3}{z}^{-1}}=\frac{z}{z-\frac{1}{3}}X(z)$
  ∵$x(n)=\delta (n)$
  ∴$Y(z)=\frac{z}{z-\frac{1}{3}}$
  ∴$y_{zs}(n)=(\frac{1}{3}{)}^{n}u(n)$
• 全响应=零输入+零状态
  ∴$y(n)=y_{zi}(n)+y_{zs}(n)=C_1(\frac{1}{3}{)}^n+(\frac{1}{3}{)}^{n}u(n)$
  ∵将$y(-1)=0代入y(n)得C_1=0$
  ∴$y_{zi}(n)=0$
  ∴$y(n)=y_{zs}(n)=(\frac{1}{3}{)}^{n}u(n)$
• $y(n)$图像：
  

(2) $x(n)=u(n)$

• 时域求解零输入:
  ∵由(1)知$y_{zi}(n)=C_1(\frac{1}{3}{)}^n$
• 频域求解零状态:
  ∵$x(n)=u(n)$
  ∴$Y(z)=\frac{z}{z-1}\cdot \frac{z}{z-\frac{1}{3}}=z\frac{z}{(z-1)(z-\frac{1}{3})}=z(\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z-\frac{1}{3}})$
  ∵$A=\frac{z}{z-\frac{1}{3}}{|}_{z=1}=\frac{3}{2}B=\frac{z}{z-1}{|}_{z=\frac{1}{3}}=-\frac{1}{2}$
  ∴$Y(z)=\frac{3}{2}\cdot \frac{z}{z-1}-\frac{1}{2}\cdot \frac{z}{z-\frac{1}{3}}$
  ∴$y(n)=y_{zi}(n)+y_{zs}(n)=C_1(\frac{1}{3}{)}^n+\frac{3}{2}u(n)-\frac{1}{2}(\frac{1}{3}{)}^{n}u(n)$
  ∵将$y(-1)=0代入y(n)得C_1=0$
  ∴$y_{zi}(n)=0$
  ∴$y(n)=y_{zs}(n)=[\frac{3}{2}-\frac{1}{2}(\frac{1}{3}{)}^n]u(n)$
• $y(n)$图像：
  

(3) $x(n)=G_N(n)N=5$

∵$x(n)=G_5(n)=u(n)-u(n-5)$
∵由(1)知$h(n)=(\frac{1}{3}{)}^{n}u(n)$
∴$y(n)=h(n)\ast x(n)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }h(m)x(n-m)$
$=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }(\frac{1}{3}{)}^{m}u(m)[u(n-m)-u(n-m-5)]$
$=\sum _{m=0}^n(\frac{1}{3}{)}^m-\sum _{m=0}^{n-5}(\frac{1}{3}{)}^m$
$=\sum _{m=n-4}^n(\frac{1}{3}{)}^m其中n-4\ge 0$
$=\frac{(\frac{1}{3}{)}^{n-4}[1-(\frac{1}{3}{)}^5]}{1-\frac{1}{3}}u(n-4)$
$=\frac{121}{3^n}n=4,5...$
∵$y(n)=h(n)\ast [u(n)-u(n-5)],当n=0,1,2,3,4时y(n)=h(n)\ast u(n)既(2)中的解$
∴$y(n)=[\frac{3}{2}-\frac{1}{2}(\frac{1}{3}{)}^n][u(n)-u(n-5)]+\frac{121}{3^n}u(n-5)$

• $y(n)$图像：
  

1-4 已知线性时不变系统的单位冲激响应h(n)，输入x(n)，求输出序列y(n)，并画出y(n)的图形

(1)$h(n)=G_N(n)x(n)=G_N(n)N=4$

∵$h(n)=x(n)=u(n)-u(n-4)$

∴$h(n)=x(n)=\{1,1,1,1\}n=0,1,2,3$

∴根据不进位乘法可得$y(n)=\{1,2,3,4,3,2,1\}n=0,1...6$

$y(n)$图像:

(2)$h(n)=2^n{G}_4(n)x(n)=\delta (n)-\delta (n-2)$

∵$h(n)=2^n[u(n)-u(n-4)]$

∴$h(n)=\{1,2,4,8\}n=0,1,2,3$

∵$x(n)=\{1,0,-1\}n=0,1,2$

∴根据不进位乘法可得$y(n)=\{1,2,3,6,-4,-8\}n=0,1...5$

$y(n)$图像:

(3)$h(n)=0.5^{n}u(n)x(n)=G_5(n)$

∵$y(n)=x(n)\ast h(n)=0.5^{n}u(n)\ast [u(n)-u(n-5)]$
$=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x(m)h(n-m)$
$=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }0.5^{m}u(m)[u(n-m)-u(n-m-5)]$
$=\sum _{m=0}^n(\frac{1}{2}{)}^m-\sum _{m=0}^{n-5}(\frac{1}{2}{)}^m$
$=\sum _{m=n-4}^n(\frac{1}{2}{)}^m其中n-4\ge 0$
$=\frac{(\frac{1}{2}{)}^{n-4}[1-(\frac{1}{2}{)}^5]}{1-\frac{1}{2}}$
$=\frac{31}{2^n}u(n-4)$

∵$当n=0,1,2,3,4时y(n)=0.5^{n}u(n)\ast u(n)$
∵$Y(z)=\frac{2z}{z-1}-\frac{z}{z-\frac{1}{2}}$
∴$y(n)=2-(\frac{1}{2}{)}^{n}n=0,1,2,3,4$

∴$y(n)=[2-(\frac{1}{2}{)}^n][u(n)-u(n-5)]+\frac{31}{2^n}u(n-5)$

$y(n)$图像:

1-7 下示每个系统中，x(n)表示激励、y(n)表示响应，判断系统是否线性，是否时变？

(1) $y(n)=x(n)sin(\frac{2\pi }{7}n+\frac{\pi }{6})$

∵$T[C_1{x}_1(n)+C_2{x}_2(n)]=[C_1{x}_1(n)+C_2{x}_2(n)]sin(\frac{2\pi }{7}n+\frac{\pi }{6})$

∵$[C_1{y}_1(n)+C_2{y}_2(n)]=[C_1{x}_1(n)+C_2{x}_2(n)]sin(\frac{2\pi }{7}n+\frac{\pi }{6})$

∴$T[C_1{x}_1(n)+C_2{x}_2(n)]=[C_1{y}_1(n)+C_2{y}_2(n)]$

∵$T[x(n-m)]=x(n-m)sin(\frac{2\pi }{7}n+\frac{\pi }{6})$

∵$y(n-m)=x(n-m)sin[\frac{2\pi }{7}(n-m)+\frac{\pi }{6}]$

∵$T[x(n-m)]\ne y(n-m)$

∴系统为线性时变

(2) $y(n)=[x(n){]}^2$

∵$T[C_1{x}_1(n)+C_2{x}_2(n)]=[C_1{x}_1(n)+C_2{x}_2(n){]}^2$

∵$[C_1{y}_1(n)+C_2{y}_2(n)]=[C_1{x}_1(n){]}^2+[C_2{x}_2(n){]}^2$

∴$T[C_1{x}_1(n)+C_2{x}_2(n)]\ne [C_1{y}_1(n)+C_2{y}_2(n)]$

∵$T[x(n-m)]=[x(n-m){]}^2$

∵$y(n-m)=[x(n-m){]}^2$

∵$T[x(n-m)]=y(n-m)$

∴系统为非线性时不变

1-9 用卷积法求系统响应y(n)

(1) $y(n)=a^{n}u(n)0<a<1,h(n)={\beta }^{n}u(n)0<\beta <1,\beta \ne a$

∵$y(n)=x(n)\ast h(n)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x(m)h(n-m)$
∴$y(n)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }{\alpha }^{m}u(m){\beta }^{(n-m)}u(n-m)$
$=\sum _{m=0}^n{\alpha }^m{\beta }^{(n-m)}$
$={\beta }^n\sum _{m=0}^n(\frac{\alpha }{\beta }{)}^m$
$={\beta }^n\cdot \frac{1-(\frac{\alpha }{\beta }{)}^{n+1}}{1-\frac{\alpha }{\beta }}$
$=\frac{{\beta }^{n+1}-{\alpha }^{n+1}}{\beta -\alpha }u(n)$

(2) $x(n)=u(n),h(n)=\delta (n-2)-\delta (n-3)$

∵$y(n)=x(n)\ast h(n)$
∵$x(n)\ast \delta (n-m)=x(n-m)$
∴$y(n)=u(n-2)-u(n-3)=\delta (n-2)$