哈密顿回路/路径学习

参考博客：https://blog.csdn.net/zhouzi2018/article/details/81278942

哈密顿图

哈密顿图（哈密尔顿图）（英语：Hamiltonian graph，或Traceable graph）是一个无向图，由天文学家哈密顿提出，由指定的起点前往指定的终点，途中经过所有其他节点且只经过一次。在图论中是指含有哈密顿回路的图，闭合的哈密顿路径称作哈密顿回路（Hamiltonian cycle），含有图中所有顶点的路径称作哈密顿路径（Hamiltonian path）。有哈密顿路径但没有哈密顿回路的图叫做半哈密顿图。

求哈密顿回路/路径已经被证明为NP-C问题，只能通过暴力枚举求。但有些定理还是应该知道的。

判定:

一:Dirac定理(充分条件)

设一个无向图中有N个顶点,若所有顶点的度数大于等于,则哈密顿回路一定存在.

二:基本的必要条件

设图G=是哈密顿图,则对于v的任意一个非空子集S,若以|S|表示S中元素的数目,G-S表示G中删除了S中的点以及这些点所关联的边后得到的子图,则W(G-S)<=|S|成立.其中W(G-S)是G-S中联通分支数.

三:竞赛图(哈密顿通路)

N阶竞赛图:含有N个顶点的有向图,且每对顶点之间都有一条边.对于N阶竞赛图一定存在哈密顿通路.

N(N>=2)阶竞赛图一点存在哈密顿通路.

其它定理：

（1）若图的最小度不小于顶点数的一半，则图是哈密顿图； 

（2）若图中每一对不相邻的顶点的度数之和不小于顶点数，则图是哈密顿图。 

（3）范定理：若图中每对距离为2的点中有一点的度数至少是图的点数的一半，则该图存在哈密尔顿圈。

例1、HDU - 2181   哈密顿绕行世界问题 （求哈密顿回路）

题意：按字典序输出指定起点的哈密顿回路。

思路：爆搜。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define LL long long
using namespace std;
int book[25],path[25],cnt;
int map[25][4];
void dfs(int ex,int x,int step)
{
	path[step]=x;
	if(step==21)
	{
		if(x==ex)
		{
			printf("%d: ",++cnt);
			for(int i=1;i<=21;i++)
				printf(" %d",path[i]);
			printf("\n");			
		}
		return ;
	}
	for(int i=0;i<3;i++)
	{
		if(step==20&&map[x][i]==ex)
			dfs(ex,map[x][i],step+1);
		if(!book[map[x][i]])
		{
			book[map[x][i]]=1;
			dfs(ex,map[x][i],step+1);
			book[map[x][i]]=0;
		}	
	}
		
}
int main()
{
	for(int i=1;i<=20;i++)
	{
	  	for(int j=0;j<3;j++)
		  scanf("%d",&map[i][j]);
		sort(map[i],map[i]+3);   	
	}
  	int m;
	while(~scanf("%d",&m))
	{
		if(m==0) break;
		cnt=0;
		memset(book,0,sizeof(book));
		book[m]=1;
		dfs(m,m,1);
	} 
  	return 0;
}

例2、HDU - 3538  A sample Hamilton path （求哈密顿路径）

题意：求从0开始的最短哈密顿路径，有m个限制条件,限制条件为a、b,表示走b之前必须先走a。

思路：爆搜肯定不行了，不过最多21个点，考虑状压dp。

dp[st][u]：表示之前走过st这个状态代表的所有点后，以u为终点时的最短路。

#include 
#define ll long long
using namespace std;
const int N = (1<<21)+10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int mp[110][110],dp[N][110],f[110];
int n,m,u,v,ans,nn;
//dp[st][u]：表示之前走过st这个状态代表的所有点后，以u为终点时的最短路 
int main(void)
{
	while(~scanf("%d%d",&n,&m))	
	{
		nn=(1<