青蛙的约会（POJ-1061）

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

思路：

根据题意，两只青蛙在一环形的路径跳跃，当两只青蛙跳到同一个点上才算遇到，即当两只青蛙的路程差等于环路周长的整数倍时才算相遇。

设：青蛙跳的次数是 t，A 青蛙与 B 青蛙的所跳的圈数差是 p

由题意：

由于 x、y、m、n、L 均是已知量，因此方程可转为 ： 的形式

令：

则原方程有线性同余方程的形式： ①

根据线性同余方程定理1，要想使方程有整数解，需要满足：

根据拓展欧几里德算法，求出一组解 ，并令 

故有：  ②

方程 ② 两边同时乘以  得：

与 ① 式比较系数得  是一组解

由于所得的一组解中的  不一定是最小正整数解，根据线性同余方程定理2

可得：

故： 是 x 的所有解

为使 x 尽可能的小，对 b 进行处理，即令：

因此，方程的最小正整数解为： 

Source Program

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