离散数学笔记系列（四）
计数原理笔记：
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- 一、容斥原理：
- 二、鸽笼原理：
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- 通俗版：
- 加强版：
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- 三、排列组合：
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- 乘法原理 / 分步计数原理：
- 加法原理 / 分类计数原理：
- 排列数公式：
- 常见阶乘数：
- 错位排列公式：
- 组合数公式：
- 常见组合数：
- 常见组合恒等式：
- 经典排列组合：
- 球盒问题：
- 分组分配问题：
- 其他经典计数问题：
- 斯特林公式：
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- 四、生成函数 / 母函数：
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- 普通型母函数 / 组合型母函数：
- 指数型母函数 / 排列型母函数：
- 常用普通型母函数：
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一、容斥原理：
特殊地：
当 n = 2 时： ∣ A ⋃ B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ − ∣ A ⋂ B ∣ |A \bigcup B| = |A| + |B| - |A \bigcap B| ∣A⋃B∣=∣A∣+∣B∣−∣A⋂B∣；
当 n = 3时： ∣ A ⋃ B ⋃ C ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ + ∣ C ∣ − ∣ A ⋂ B ∣ − ∣ A ⋂ C ∣ − ∣ B ⋂ C ∣ + ∣ A ⋂ B ⋂ C ∣ |A \bigcup B \bigcup C| = |A| + |B| + |C| - |A \bigcap B| - |A\bigcap C| - |B \bigcap C| + |A \bigcap B \bigcap C| ∣A⋃B⋃C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A⋂B∣−∣A⋂C∣−∣B⋂C∣+∣A⋂B⋂C∣；
二、鸽笼原理：
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通俗版：
若将n只鸽子放到m个笼子中，且m < n，则至少有一个笼子要装2个或更多的鸽子；
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加强版：
若将n只鸽子放到m个笼子中，则至少有一个笼子要容纳 ⌊ n − 1 m ⌋ + 1 \lfloor \frac{n-1}{m} \rfloor + 1 ⌊mn−1⌋+1或更多的鸽子；
三、排列组合：
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乘法原理 / 分步计数原理：
做一件事有k个步骤，其中第1步有 n 1 n_1 n1种方法，第2步有 n 2 n_2 n2种方法 ,…, 第i步有 n i n_i ni种方法 ,…, 第k步有 n k n_k nk种方法，则完成这件事情共有 Π n i \Pi n_i Πni种方法；
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加法原理 / 分类计数原理：
做一件事有k个做法，其中第1个做法有 n 1 n_1 n1种方式，第2个做法有 n 2 n_2 n2种方式 ,…, 第i个做法有 n i n_i ni种方式 ,…, 第k个做法有 n k n_k nk种方式，则完成这件事情共有 Σ n i \Sigma n_i Σni种方法；
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排列数公式：
A n m = n ! m ! A_n^m = \frac{n!}{m!} Anm=m!n!, 特殊地： A n n = n ! A_n^n = n! Ann=n!
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常见阶乘数：
| 0! | 1! | 2! | 3! | 4! | 5! | 6! | 7! | 8! | 9! |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 6 | 24 | 120 | 720 | 5040 | 40320 | 362880 |
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错位排列公式：
D n = n ! ( 1 2 ! − 1 3 ! + . . . + ( − 1 ) n 1 n ! ) D_n = n!(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + ... +(-1)^n\frac{1}{n!}) Dn=n!(2!1−3!1+...+(−1)nn!1)
注：所谓错位排列，即设 a 1 a 2 . . . a n a_1a_2...a_n a1a2...an这n个不同的数已经按照某个既定的顺序排好，而这个n个数的其余排列中，若某个排列为 p 1 p 2 . . . p n p_1p_2...p_n p1p2...pn, 且满足 ∀ i ≤ n , p i ≠ a i \forall i \leq n, p_i \neq a_i ∀i≤n,pi=ai则称其为{ a i a_i ai}的一个错位排列，而错位排列公式所求为这n个数的错位排列的个数；
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组合数公式：
C n m = n ! m ! ( n − m ) ! C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!} Cnm=m!(n−m)!n!
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常见组合数：
| C n 0 / C n n C_n^0/C_n^n Cn0/Cnn | C n 1 C_n^1 Cn1 | C n 2 C_n^2 Cn2 | C n 3 C_n^3 Cn3 | C 3 1 / C 3 2 C_3^1/C_3^2 C31/C32 | C 4 2 C_4^2 C42 | C 5 2 / C 5 3 C_5^2/C_5^3 C52/C53 | C 6 2 / C 6 4 C_6^2/C_6^4 C62/C64 | C 6 3 C_6^3 C63 | C 7 3 / C 7 4 C_7^3/C_7^4 C73/C74 | C 8 4 C_8^4 C84 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | n | n ( n − 1 ) 2 \frac{n(n-1)}{2} 2n(n−1) | n ( n − 1 ) ( n − 2 ) 6 \frac{n(n-1)(n-2)}{6} 6n(n−1)(n−2) | 3 | 6 | 10 | 15 | 20 | 35 | 70 |
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常见组合恒等式：
(1) C n k = C n n − k C_n^k = C_n^{n-k} Cnk=Cnn−k
(2) C n k = C n − 1 k + C n − 1 k − 1 C_n^k = C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k-1} Cnk=Cn−1k+Cn−1k−1
(3) k C n k = n C n − 1 k − 1 kC_n^k = nC_{n-1}^{k-1} kCnk=nCn−1k−1
(4) C m m + C m + 1 m + . . . + C n m = C n + 1 m + 1 C_m^m + C_{m+1}^m + ... + C_{n}^m = C_{n+1}^{m+1} Cmm+Cm+1m+...+Cnm=Cn+1m+1
(5) C n k × C k m = C n m × C n − m k − m = C n k − m × C n + m − k m C_n^k \times C_k^m = C_n^m \times C_{n-m}^{k-m} = C_n^{k-m} \times C_{n+m-k}^{m} Cnk×Ckm=Cnm×Cn−mk−m=Cnk−m×Cn+m−km
(6) C n 0 + C n 1 + . . . + C n n = 2 n C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = 2^n Cn0+Cn1+...+Cnn=2n
(7) C n 0 + C n 2 + . . . = C n 1 + C n 3 + . . . = 2 n − 1 C_n^0 + C_n^2 + ... = C_n^1 + C_n^3 + ... = 2^{n-1} Cn0+Cn2+...=Cn1+Cn3+...=2n−1
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经典排列组合：
| 元素是否可重复 | 安排是否有序 | 计数公式 | 模型 |
|---|---|---|---|
| 不重复 | 无序 | C n m C_n^m Cnm | n个元素的m组合 |
| 不重复 | 线性有序 | A n m A_n^m Anm | n个元素的m排列 |
| 不重复 | 圆形有序 | A n m m \frac{A_n^m}{m} mAnm | n个元素的m圆排列 (注意跟第一类斯特林数区分) |
| 可重复 | 无序 | C n + m − 1 m C_{n+m-1}^m Cn+m−1m | n个元素的可重m组合 |
| 可重复 | 线性有序 | n m n^m nm | n个元素的可重m排列 |
| 可重复 | 圆形有序 | Σ ϕ ( d ) n m d m \frac{\Sigma\phi(d) n^{\frac{m}{d}} }{m} mΣϕ(d)ndm | n个元素的可重圆形m排列 （其中d是n的每个因子， ϕ ( d ) \phi(d) ϕ(d)是d的欧拉函数） |
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球盒问题：
（将n个球放入m个盒子中）
| 球是否可辨 | 盒子是否可辩 | 盒子是否可空 | 计数公式 | 模型 |
|---|---|---|---|---|
| 可辨 | 可辩 | 可空 | m n m^n mn | n元集有序拆分成m个子集 |
| 可辨 | 可辩 | 不可空 | K n , m = Σ i = 1 m ( − 1 ) m − i C m i i n K_{n,m} = \Sigma_{i=1}^{m}(-1)^{m-i}C_m^ii^n Kn,m=Σi=1m(−1)m−iCmiin | n元集有序拆分成m个非空子集 (记为 K n , m K_{n,m} Kn,m,下同) |
| 可辨 | 不可辩 | 不可空 | 1 m ! K n , m \frac{1}{m!}K_{n,m} m!1Kn,m | n元集无序拆分成m个非空子集 （第二类斯特林数） |
| 可辨 | 不可辩 | 可空 | Σ j = 1 m 1 j ! K n , j \Sigma_{j=1}^{m}\frac{1}{j!}K_{n,j} Σj=1mj!1Kn,j | n元集无序拆分成m个子集 (当m=n时为贝尔数) |
| 不可辨 | 可辩 | 可空 | C n + m − 1 n C_{n+m-1}^n Cn+m−1n | 方程 x 1 + x 2 + . . . + x m = n x_1+x_2+...+x_m = n x1+x2+...+xm=n的非负整数解 |
| 不可辨 | 可辩 | 不可空 | C n − 1 m − 1 C_{n-1}^{m-1} Cn−1m−1 | 方程 x 1 + x 2 + . . . + x m = n x_1+x_2+...+x_m = n x1+x2+...+xm=n的正整数解 |
| 不可辨 | 不可辩 | 不可空 | 递归式： P n , m = P n − 1 , m − 1 + P n − m , m P_{n,m} = P_{n-1,m-1} + P_{n-m,m} Pn,m=Pn−1,m−1+Pn−m,m |
正整数n无序拆分成m个正整数 (记为 P n , m P_{n,m} Pn,m,下同) |
| 不可辨 | 不可辩 | 可空 | Σ i = 1 m P n , i \Sigma_{i=1}^{m}P_{n,i} Σi=1mPn,i | 正整数n无序拆分成至多m个正整数 |
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分组分配问题：
| 分派对象是否可辨/定向 | 分派是否均匀 | 计数公式 | 模型 |
|---|---|---|---|
| 不可辩/可辨定向 | 均匀 | 1 m ! Π i = 0 m − 1 C n − i × k k \frac{1}{m!}\Pi_{i = 0}^{m-1} C_{n-i\times k}^k m!1Πi=0m−1Cn−i×kk | n个元素平均分成m组 (k= n m \frac{n}{m} mn,下同) |
| 可辨不定向 | 均匀 | Π i = 0 m − 1 C n − i × k k \Pi_{i = 0}^{m-1} C_{n-i\times k}^k Πi=0m−1Cn−i×kk | n个元素不定向平均分给m个对象 |
| 不可辨/可辨定向 | 完全不均匀 | Π i = 1 m C n − Σ j = 1 i − 1 k j k i \Pi_{i = 1}^{m} C_{n-\Sigma_{j=1}^{i-1} k_j}^{k_i} Πi=1mCn−Σj=1i−1kjki | n个元素分成m组,每组分 k 1 , k 2 , . . . k m k_1,k_2,...k_m k1,k2,...km个且各不相同 |
| 可辩不定向 | 完全不均匀 | m ! × Π i = 1 m C n − Σ j = 1 i − 1 k j k i m!\times \Pi_{i = 1}^m C_{n-\Sigma_{j=1}^{i-1} k_j}^{k_i} m!×Πi=1mCn−Σj=1i−1kjki | n个元素不定向分给m个对象,每个对象分 k 1 , k 2 , . . . k m k_1,k_2,...k_m k1,k2,...km个且各不相同 |
| 不可辨/可辨定向 | 部分均匀 | 1 s 1 ! s 2 ! . . . s l ! Π i = 1 m C n − Σ j = 1 i − 1 k j k i \frac{1}{s_1!s_2!...s_l!}\Pi_{i = 1}^{m} C_{n-\Sigma_{j=1}^{i-1} k_j}^{k_i} s1!s2!...sl!1Πi=1mCn−Σj=1i−1kjki | n个元素分成m组,每组分 k 1 , k 2 , . . . k m k_1,k_2,...k_m k1,k2,...km个且各等份组组数为 s 1 , s 2 , . . . , s l s_1,s_2,...,s_l s1,s2,...,sl |
| 可辩不定向 | 部分均匀 | m ! s 1 ! s 2 ! . . . s l ! Π i = 1 m C n − Σ j = 1 i − 1 k j k i \frac{m!}{s_1!s_2!...s_l!} \Pi_{i = 1}^m C_{n-\Sigma_{j=1}^{i-1} k_j}^{k_i} s1!s2!...sl!m!Πi=1mCn−Σj=1i−1kjki | n个元素不定向分给m个对象,每个对象分 k 1 , k 2 , . . . k m k_1,k_2,...k_m k1,k2,...km个且各等份组组数为 s 1 , s 2 , . . . , s l s_1,s_2,...,s_l s1,s2,...,sl |
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其他经典计数问题：
| 名称 | 计数递推式 | 计数公式 | 模型 |
|---|---|---|---|
| 第一类斯特林数 | s n , m = s n − 1 , m − 1 + s_{n,m} = s_{n-1,m-1}+ sn,m=sn−1,m−1+(n-1) × s n − 1 , m \times s_{n-1,m} ×sn−1,m | 无 | n个元素分成m个圆排列 |
| 第二类斯特林数 | S n , m = S n − 1 , m − 1 + m × S n − 1 , m S_{n,m} = S_{n-1,m-1}+m\times S_{n-1,m} Sn,m=Sn−1,m−1+m×Sn−1,m | 1 m ! Σ i = 1 m ( − 1 ) m − i C m i i n \frac{1}{m!}\Sigma_{i=1}^{m}(-1)^{m-i}C_m^ii^n m!1Σi=1m(−1)m−iCmiin | n个可辨的小球放到m个不可辨的盒子中 |
| 贝尔数 | B n = Σ i = 0 n − 1 B i B_{n} = \Sigma_{i=0}^{n-1}B_{i} Bn=Σi=0n−1Bi | Σ i = 1 n S n , i \Sigma_{i=1}^{n}S_{n,i} Σi=1nSn,i | n元集的非空子集划分 |
| 卡特兰数 | C n = Σ i = 0 n − 1 C i C n − i − 1 C_{n} = \Sigma_{i=0}^{n-1}C_{i}C_{n-i-1} Cn=Σi=0n−1CiCn−i−1 | C 2 n n − C 2 n n − 1 = 1 n + 1 C 2 n n C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1} = \frac{1}{n+1}C_{2n}^{n} C2nn−C2nn−1=n+11C2nn | n个元素依次入栈后的出栈序列 |
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斯特林公式：
lim n → + ∞ n ! 2 π n ( n e ) n = 1 \lim_{n\rightarrow+ \infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n} = 1 limn→+∞2πn(en)nn!=1，即： n ! ≈ 2 π n ( n e ) n n! \approx \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n n!≈2πn(en)n
四、生成函数 / 母函数：
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普通型母函数 / 组合型母函数：
设任意一个数列为 { a n } \{a_n\} { an}则称函数： G ( x ) = Σ a i x i G(x) = \Sigma a_ix^i G(x)=Σaixi为 { a n } \{a_n\} { an}的普通型母函数 / 组合型母函数；
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指数型母函数 / 排列型母函数：
设任意一个数列为 { a n } \{a_n\} { an}则称函数： E G ( x ) = Σ a i x i i ! EG(x) = \Sigma a_i\frac{x^i}{i!} EG(x)=Σaii!xi为 { a n } \{a_n\} { an}的指数型母函数 / 排列型母函数；
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常用普通型母函数：
| G ( x ) G(x) G(x) | a i a_i ai |
|---|---|
| ( 1 + x ) n (1+x)^n (1+x)n | C n i C_n^i Cni |
| ( 1 + a x ) n (1+ax)^n (1+ax)n | C n i a i C_n^ia^i Cniai |
| ( 1 + x m ) n (1+x^m)^n (1+xm)n | C n i m C_n^{\frac{i}{m}} Cnmi (m整除i), 0 (m不整除i) |
| 1 − x n + 1 1 − x \frac{1-x^{n+1}}{1-x} 1−x1−xn+1 | 1 1 1 |
| 1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1 | 1 1 1 |
| 1 ( 1 − x ) 2 \frac{1}{(1-x)^2} (1−x)21 | i + 1 i+1 i+1 |
| 1 ( 1 − x ) n \frac{1}{(1-x)^n} (1−x)n1 | C n + i − 1 i C_{n+i-1}^{i} Cn+i−1i |
| 1 ( 1 + x ) n \frac{1}{(1+x)^n} (1+x)n1 | ( − 1 ) i C n + i − 1 i (-1)^iC_{n+i-1}^{i} (−1)iCn+i−1i |
| 1 1 − a x \frac{1}{1-ax} 1−ax1 | a i a^i ai |
| 1 ( 1 − a x ) n \frac{1}{(1-ax)^n} (1−ax)n1 | C n + i − 1 i a i C_{n+i-1}^{i}a^i Cn+i−1iai |
| 1 ( 1 + a x ) n \frac{1}{(1+ax)^n} (1+ax)n1 | ( − 1 ) i C n + i − 1 i a i (-1)^iC_{n+i-1}^{i}a^i (−1)iCn+i−1iai |
| 1 1 − x m \frac{1}{1-x^m} 1−xm1 | 1 (m整除i)， 0 (m不整除i) |
| e x e^x ex | 1 i ! \frac{1}{i!} i!1 |
| l n ( 1 + x ) ln(1+x) ln(1+x) | ( − 1 ) i + 1 i \frac{(-1)^{i+1}}{i} i(−1)i+1 |