线性基汇总

线性基

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• 定义：

  ​ 在 mod 2的意义下，有n个长度为m的向量，这n个向量的线性基为其所组成的线性空间V的基底。

• 构造：

  ​ 我们考虑用增量法来构造线性基。假如现在要插入一个向量，从左向右不断消去1，直到出现了第一个无法消去的1，说明这个向量无法用现在的几组基底表示出来，所以将其插入线性基。（普通的线性基构造按照这样写就可以了，不过我们有一种更优秀的写法，它会有很多不错的性质）。

  const int MAXN=31;
  int a[MAXN+5];
  void insert(int v){
  	for(int i=MAXN;i>=0;--i) if((v>>i)&1){
  		if(a[i]) v^=a[i];
  		else{
  			for(int j=i-1;j>=0;--j)
  				if((v>>j)&1) v^=a[j];
  			for(int j=i+1;j<=MAXN;++j)
  				if((a[j]>>i)&1) a[j]^=v;
  			a[i]=v;
  			break; 
  		}
  	}
  }
  

• 本质不同的子集异或和计数：

  给定n个数，第i个数位$a_i$，询问其中有多少个本质不同的子集异或和。n$\le 10^5$，$a_i\le 10^9$

  • 首先考虑线性基是什么？线性基是给定的n个向量通过任意变换形成的线性空间的基底，也就是说线性基任意变化形成的线性空间与之前的是完全一致的。那么就很OK了啊，我们求出线性基，如果基底数量为m，那么答案就是$2^m$。

• 最大/最小子集异或和：

  给定n个数，第i个数位$a_i$，询问最大子集异或和与最小子集异或和。n$\le 10^5$，$a_i\le 10^9$

  • 求最大：贪心地考虑，在二进制下，高位为1一定更优。所以我们从左向右（即从高位向低位）选，如果当前值xor当前基底之后答案变大，就xor。最后得到的一定是最大值。
  • 求最小：不要陷入最大的闭合思路里面。求最小值涉及到了用了上面构造方法构造出来的线性基的性质。（1）如果在插入一个数的时候，发现这个数无法被插入线性基，说明已经可以变换出这个数了，那么最小值一定为0。（2）如果没有第一种情况，那么最小值一定是线性基里最小的数。

• 异或和为零的子集计数：

  给定n个数，第i个数位$a_i$，询问有多少个子集是满足异或和为零的。n$\le 10^5$，$a_i\le 10^9$

  • 考虑假如一个向量无法插入线性基，那么在线性基内一定有一个子集异或和等价于它，所以会形成一个异或和为0的子集。一般的，线性基外的所有向量，任意组合的子集形成的向量一定在线性基内可以体现，所以异或和为0的子集个数应该是$2^k$，k为线性基外的向量数。

刷题榜

[HDU3949] 子集异或第K大(https://blog.csdn.net/qq_39759315/article/details/88789906)

[BZOJ2844] 子集异或的权值出现次数(https://blog.csdn.net/qq_39759315/article/details/88789872)

[BZOJ4568] 线性基+倍增暴力维护(https://blog.csdn.net/qq_39759315/article/details/88789880)

[BZOJ3569] 线性基判断连通性(https://blog.csdn.net/qq_39759315/article/details/88789961)

[BZOJ2115] 线性基+dfs树(https://blog.csdn.net/qq_39759315/article/details/88789957)

[BZOJ3105] 线性基+博弈论(https://blog.csdn.net/qq_39759315/article/details/88789941)

大概就先到这里了，多加练习才是硬道理！