Matlab网格划分程序Distmesh讲解（一）

http://persson.berkeley.edu/distmesh/

Distmesh 是一个matlab语言写的网格划分软件。
源文件可以从上面的网址获取。
这里按行讲解各个算例。
p01_demo:
概算例是一个单位圆（半径为1）的网格划分，划分后的网格为：

以下逐行讲解该算例：
function p01_demo ( iteration_max, h )
%   Parameters:
%   Input, integer ITERATION_MAX, the maximum number of iterations that DISTMESH
%       should take.   (The program might take fewer iterations if it detects convergence.)
%   Input, real h, the mesh spacing parameter.
% 这里有两个输入参数，一个是ITERATION_MAX,迭代的最大次数。
% 另一个是h, 网格划分的大小。 0
% 默认参数值为： ITERATION=200     h=0.1


[ p, t ]=distmesh_2d( fd, fh, h0, box, iteration_max, fixed );
函数需要至少六个参数。
d = fd ( p )，     p=[x y]
fd   给定任一点到边界的距离函数，本例中定义为： d =   sqrt(x^2+y^2)-1;
fh, scaled edge length function h(x,y). 也就是网格大小的函数。

h0 也就是h, 网格的大小
real BOX(2,2), the bounding box [xmin,ymin; xmax,ymax].
最大外围矩形范围。 本例中为[0,0;1,1]
ITERATION_MAX, the maximum number of iterations.
real PFIX(NFIX,2), the fixed node positions. 网格中需要固定的点坐标，也就是一定需要出现在网格中的点。

输出参数：
real P(N,2), the node positions.   网格点的x,y坐标
integer T(NT,3), the triangle indices. 输出网格任一一个三角形的三个顶点。

第一步：
   [ x, y ] = meshgrid ( box(1,1) : h0                     : box(2,1), ...
                                               box(1,2) : h0*sqrt(3)/2 : box(2,2) );
根据h0，网格的大小，先把能涵盖欲划分区域的最大矩形划分为结构网格。
然后把偶数行的点整体向右平移半格，
  x(2:2:end,:) = x(2:2:end,:) + h0 / 2;
效果如下：



第二步：
根据fd的函数定义，移除边界外的点。
  p = p( feval_r( fd, p, varargin{:} ) <= geps, : );
varagin为fd，fh的附加参数，这里为空。
geps = 0.001 * h0;
也就是保留了到边界的距离以外0.001 * h0以内的点。
 
根据网格密度函数fh，每个点上产生一个0-1随机数，判断是否小于r0/max(r0)
大于的话，改点被删除。
  p = [ pfix; p(rand(size(p,1),1) < r0 ./ max ( r0 ),: ) ];
   [ nfix, dummy ] = size ( pfix );

当指定了某些点要保留的时候，把保留的点加入，删除重复的点。
%   Especially when the user has included fixed points, we may have a few
%   duplicates.   Get rid of any you spot.
%
   p = unique ( p, 'rows' );
   N = size ( p, 1 );
这个时候产生的网格如下：


第三步：迭代
   pold = inf; %第一次迭代前设置旧的点的坐标为无穷
while ( iteration < iteration_max ) 
       iteration = iteration + 1;

%先判断上次移动后的点和旧的点之间的移动距离，如果小于某个阀值，停止迭代
       if ( ttol < max ( sqrt ( sum ( ( p - pold ).^2, 2 ) ) / h0 ) )
 
           pold = p;     %如果还可以移动，保存当前的节点
           t = delaunayn ( p );   %利用delauny算法，生成三角形网格
           triangulation_count = triangulation_count + 1;
           pmid = ( p(t(:,1),:) + p(t(:,2),:) + p(t(:,3),:) ) / 3;   %计算三角形的重心。
           t = t( feval_r( fd, pmid, varargin{:} ) <= -geps, : ); % 移除重心在边界外部的三角形

%        4. Describe each bar by a unique pair of nodes.
%
% 生成网格的边的集合，也就是相邻点之间连接的线段  
     bars = [ t(:,[1,2]); t(:,[1,3]); t(:,[2,3]) ];
           bars = unique ( sort ( bars, 2 ), 'rows' );

   end


  %
%   6. Move mesh points based on bar lengths L and forces F
%
%   Make a list of the bar vectors and lengths.
%   Set L0 to the desired lengths, F to the scalar bar forces,
%   and FVEC to the x, y components of the bar forces.
%
%   At the fixed positions, reset the force to 0.
%
       barvec = p(bars(:,1),:) - p(bars(:,2),:);     % 生成bar的矢量
       L = sqrt ( sum ( barvec.^2, 2 ) );   %计算bar的长度

   %根据每个bar的中点坐标，计算需要的三角形边的边长（这个在fh函数里控制）
       hbars = feval_r( fh, (p(bars(:,1),:)+p(bars(:,2),:))/2, varargin{:} );

% 计算 需要的bar的长度，已经乘上了两个scale参数 Fscale, sqrt ( sum(L.^2) / sum(hbars.^2) );
% 具体可参考他们的paper
       L0 = hbars * Fscale * sqrt ( sum(L.^2) / sum(hbars.^2) );

% 计算每个bar上力
       F = max ( L0 - L, 0 );

�r上力的分量，x,y方向                                                          
       Fvec = F ./ L * [1,1] .* barvec; 

% 计算Ftot， 每个节点上力的残量                                  
       Ftot = full ( sparse(bars(:,[1,1,2,2]),ones(size(F))*[1,2,1,2],[Fvec,-Fvec],N,2) );

%对于固定点，力的残量为零
       Ftot(1:size(pfix,1),:) = 0;

% 根据每个节点上的受力，移动该点                                              
       p = p + deltat * Ftot; 

%   7. Bring outside points back to the boundary
%
%   Use the numerical gradient of FD to project points back to the boundary.
%

   
       d = feval_r( fd, p, varargin{:} ); %计算点到边界距离
       ix = d > 0;
     
       %计算移动梯度，相对边界
       dgradx = ( feval_r(fd,[p(ix,1)+deps,p(ix,2)],varargin{:}) - d(ix) ) / deps;
       dgrady = ( feval_r(fd,[p(ix,1),p(ix,2)+deps],varargin{:}) - d(ix) ) / deps;

     %将这些移动到边界外的投射回边界上
       p(ix,:) = p(ix,:) - [ d(ix) .* dgradx, d(ix) .* dgrady ];
%
%   I needed the following modification to force the fixed points to stay.
%   Otherwise, they can drift outside the region and be lost.
%   JVB, 21 August 2008.
%
       p(1:nfix,1:2) = pfix;

       N = size ( p, 1 );
%
%   8. Termination criterion: All interior nodes move less than dptol (scaled)
%