跟我一起学Multiple View Geometry多视图几何（3）

前言：到现在我们已经学了由Ｆ确定的映射关系：x–>l’，今天我们来学下fundamental matrix最重要的几个基本性质。

9.2.3 点对匹配条件Correspondence condition

　　我们现在已经清楚对于两幅图像的一组对应点x’ 与 x来说，他们每一对关于矩阵F都有如下约束：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x’Fx=0
书上写了一句及其精炼的话：这显然是成立的，因为如果x与x’对应，那么x’必定落在x决定的epipolor line:l’上面，也就是
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反过来也成立：如果两个图像上的点x与x’满足x’Fx=0那么这两个点所对应的直线（Cx与C’x’）共面，这也是两个点x与x’对应的必要条件。
　　x’Fx=0这个方程的重要性在于它提供给我们一个不用相机矩阵P与P’就可以构建F的方法，也就是只需要若干匹配点对，这使得我们可以仅仅通过图像间的特征点匹配关系就可以求出F(从9.1节我们可以看出F可以由两个相机矩阵P与P’求出)，详细内容我们将在chapter 11给出，那里我们会看到一般情况下我们至少需要７组匹配点对求出F。
　　那么这里可能会有同学问了，要是大于７组点是不是就没有解了，理论上是这样，方程数大于未知数大多数情况下是不会有解的，但是我们知道，如果你的点对得到的是理想点对，那么大于７组的匹配点是不需要的，而事实是这是不可能的，我们得到的点对都是有误差的，这里就要用到最小二乘法获得大于７组匹配点的最优解，即使这个最优解再数学上没有以上任一组方程成立，只要它能保证让所有的方程有最小的偏差。
　　举个最简单的例子，让你用在一条直线上测量的两个坐标点坐标画出一条直线肯定是只有一条，但是你要是测量了５组点呢，如果你敢保证你测量的点都是绝对精确的那么我可以说其余的３组点是多余的也就是再前两个点所确定的直线上，但是你不能保证测量的精确性，所以我们就想办法找到一条离所有测量点垂直距离之和最小的直线，即使它上面一个测量点都没有。

　　　　　　　　　　　　　　　　

嘿嘿，有点啰嗦了，纯粹给同学们复习下最小二乘的原理～～～

9.2.4 fundamental matrix的性质

　　－F是秩为２，自由度为７的单应矩阵。
　　－如果x’ 与 x分别是两个图像对应点，那么他们满足x’Fx=0。
　　－Epipolor line：
　　－Epipole：
　　－从P与P’中计算F：

9.2.5 极线单应性The epipolar line homography

　　推理9.5:假定l与l’是对应的epipolar lines，ｋ是任一一条不经过epipole e的直线，我们有，同理，.
　　证明：是直线ｋ与ｌ的交点，也就是l上的对应点x，因此是与x对应的epipolar line，也就是l’，所以。参照下图：

　　另外我们可以把直线k选作直线e，由于，所以直线e不经过epipole e的条件是满足的，这样上面的推论就可以写成：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。

哎呦我去公式编辑得累死我了。。。。。。。。。。。。。