动态规划考智商 智商是硬伤

2013编程之美资格赛题目——踩方格

描述

有一个方格矩阵,矩阵边界在无穷远处。我们做如下假设:
a. 每走一步时,只能从当前方格移动一格,走到某个相邻的方格上;
b. 走过的格子立即塌陷无法再走第二次;
c. 只能向北、东、西三个方向走;
请问:如果允许在方格矩阵上走n步,共有多少种不同的方案。2种走法只要有一步不一样,即被认为是不同的方案。
输入
允许在方格上行走的步数n

 输出

计算出的方案数量
对于小数据1 <= n <= 20; 对于大数据1 <= n <= 100.

 样例输入


2

样例输出

7

自己一开始做时,用了递归搜索的方法,小数据当然过了,大数据显然TLE了。此题典型的动态规划方法解,一开始也往这方面去想,但碍于自己的智商太低,想不出来推导公式,赛后,看了网上的大神的讲解,才看懂了这题怎么做。

F[n,1]为第n步向北走的方案数,

F[n,2]为第n步向东走的方案数,

F[n,3]为第n步向西走的方案数,

则可以列出以下动归方程:

F[n,1] = F[n-1,1]+F[n-1,2]+F[n-1,3]  , (1)解释:在第n步之前,第n-1步是向东、北、西方向走的,三个方向都可以

F[n,2] = F[n-1,1] +F[n-1,3], (2)解释:第n-1步只能向北和西走,由于题目限制不能倒走

同理

F[n,3] = F[n-1,1] + F[n-1,2]  (3)

总方案数为:

F[n,0] = 3*F[n-1,1] + 2*F[n-1,2] + 2*F[n-1,3]


F(n, 0) = 2F(n - 1, 0) + F(n - 1, 1) = 2F(n - 1, 0) + f(n - 2, 0)

如果不一步一步推到,最终的结果几乎不能看出来。。。

ps:xhEditor怎么没有数学公式编辑器呢?

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