图论 —— 网络流 —— 费用流 —— MCMF 算法

【概述】

EK 算法是每次用广搜寻找一条最短的增广路，然后沿其增广，而 MCMF 算法是在 EK 算法的基础上，每次用 SPFA 计算图的距离标号，然后沿着可行边进行增广，即将 EK 算法中的 bfs 替换为 SPFA 求最短路，边权为该边的单位流量花费，即改变遍历的优先级来实现。

【基本思想】

1.每次查找是否存在从源点到汇点可增广的路径（源点到汇点的最短路且路径上的所有边均不能满流），并用 pre[i] 记录路径上到达点 i 的边的编号。

2.若存在这样的路径，则从汇点沿着 pre 数组向前找，找到该路径上可以增广的流量 Min（所有边中剩余流量最小的），再从汇点遍历一次，正向边增加流量 Min，反向边减少 Min，总费用累加 Min * edge[i].cost，总流量累加 Min

【实现】

struct Edge{
    int from,to;
    int cap,flow;
    int cost;//费用
    int next;//指向下一条边的编号
}edge[N];
int head[N],tot;
int dis[N];//单源最短路径
bool vis[N];//SPFA中用于判断是否在队列
int pre[N];//记录从S到i的最小费用路径上的最后一条弧编号
void addEdge(int x,int y,int cap,int cost){
    edge[tot].from=x;
    edge[tot].to=y;
    edge[tot].cap=cap;
    edge[tot].flow=0;
    edge[tot].cost=cost;
    edge[tot].next=head[x];
    head[x]=tot++;

    edge[tot].from=y;
    edge[tot].to=x;
    edge[tot].cap=0;
    edge[tot].flow=0;
    edge[tot].cost=-cost;
    edge[tot].next=head[y];
    head[y]=tot++;
}
bool SPFA(int S,int T) {
    queue Q;
    memset(dis,INF,sizeof(dis));
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    memset(pre,-1,sizeof(pre));

    dis[S]=0;
    Q.push(S);
    while(!Q.empty()) {
        int x=Q.front();
        Q.pop();
        vis[x]=false;
        for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next) {
            int y=edge[i].to;
            int cost=edge[i].cost;
            int cap=edge[i].cap;
            int flow=edge[i].flow;
            if(dis[y]>dis[x]+cost&&cap>flow) {
                dis[y]=dis[x]+cost;
                pre[y]=i;
                if(!vis[y]){
                    vis[y]=true;
                    Q.push(y);
                }
            }
        }
    }
    return pre[T]!=-1;
}
void MCMF(int S,int T,int &flow,int &cost){
    while(SPFA(S,T)){//每次寻找花销最小的路径
        int minn=INF;
        for(int i=pre[T];i!=-1;i=pre[edge[i^1].to])//寻找最小增广流
            minn=min(minn,edge[i].cap-edge[i].flow);

        for(int i=pre[T];i!=-1;i=pre[edge[i^1].to]) {
            edge[i].flow+=minn;
            edge[i^1].flow-=minn;
            cost+=edge[i].cost*minn;//增广流的花销
        }
        flow+=minn;//总流量增加
    }
}
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);

    tot=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x,y,cap,cost;
        scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&cap,&cost);
        addEdge(x,y,cap,cost);//正向边
    }

    int cost=0,flow=0;//最小费用、最大流
    int S=1,T=n;//源点与汇点
    MCMF(S,T,flow,cost);
    printf("minCost:%d\n",cost);
    printf("maxFlow:%d\n",flow);

    return 0;
}