基2与基4时间抽取fft算法

基2时间抽取FFT计算
DFT变换定义：

IDFT变换定义：

基2算法，序列的长度是为2的幂，序列的DFT为。序列可以由奇序列和偶序列组成,它们的DFT分别为和。

假设x[2r]和x[2r+1]的N/2点的DFT值为： 

，

那么可以得到：

 

    这样我们可以将时域长序列逐次按奇偶分解为两个短序列，然后由两个短序列的DFT逐次合成相应长序列的DFT称为基2时间抽取FFT算法。

    从最后一级往前分解对应的蝶形结构，这些蝶形结构最左边的输入都是序列的DFT值，而分解直到最左边的蝶形结构是两点序列的DFT，此时最左边的值是序列x[k],

    概括起来就是由N点序列的DFT最终分解为2点序列的DFT。

 

基2时间抽取FFT算法计算复杂度：

直接计算法：共需要N*N次复数乘法器，和N*N次复数加法。

基2的FFT快速算法：

共需要分解的总级数为：，

每一级含有的蝶形结构个数为：N/2

每个蝶形结构完成一次复数乘法和两次复数加法运算。

总共运算量为：

复数乘法：

复数加法： 

 

基2蝶形结构系数的变化规律

第一级蝶形运算的系数均为，

第二级蝶形运算的系数均为和

之后M级蝶形运算的系数为：

                                   、、……

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

基4时间抽取FFT计算

将序列分为4个短序列，分别为x[4k]、x[4k+1]、x[4k+2]、x[4k+3].

每一级有N/4个蝶形运算，总共需要分的级数是

第一级每个蝶形运算不需要乘选择因子，所以没有复数乘法。之后的级数，因为，不需要乘积，所以每个蝶形运算都需要3次乘旋转因子，故需要3次复数乘法。

 

基4时间抽取FFT算法复数乘法次数为：

 

16点的基4时域抽取的FFT算法框图