数论-hdu3117题解

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题目大意：输出 Fibonacci 数列的第 n 项 a_n，如果 a_n 位数 ≤8 ，否则按格式“高四位…低四位”输出。

分析：注意点：题目给的 n 的范围是 [0, 10⁸] ，直接使用递推的方式求 a_n 会超时，并且数值超出了表示范围（C++）。

首先Fibonacci 数列的 0~39 项的位数都是在 8 位以内的，如果不知道，可以观察测试用例，a₃₉ 对应 63245986 ， a₄₀ 对应 1023…4155 。所以，对于 0~39 项，可以通过递推公式先打表。

然后，先考虑取出高四位。
Fibonacci 数列有如下的通项公式：

对通项公式进行变换（两边取对数）得到下面的表达式：

以10为底取对数的好处在于，如果将大数用科学计数法的形式表示，例如 123456789123456789 。就可以写成 1.23456789123456789x10¹⁷ ， 进一步可以写成 log₁₀(1.23456789123456789)+17 这种小数加整数的形式，即 log₁₀(123456781456789) = log₁₀(1.23456789123456789)+17 ，如果想得到高四位，就是将 10^{log₁₀(1234.56789123456789)}向下取整即可，而 log₁₀(1234.56789123456789) = log₁₀(1.23456789123456789)+3 ，就和log₁₀(123456789123456789) 建立了联系。按照这种思路，一个大数的高四位就容易得到了。

对于低四位，取模就可以，但是因为递推会超时，所以需要用到下面的性质：

这样就是矩阵快速幂+取模，在找到对应位置的值就可以了。

代码：

#include
using namespace std;
typedef struct{
    int a[2][2];
}MATRIX;

const int mod = 10000;
MATRIX a, ans;
int k;
int f[40];

void init(){
    f[1] = 1;
    f[2] = 1;
    for(int i=3; i<40; i++){
        f[i] = f[i-1] + f[i-2];
    }
}

MATRIX mult(MATRIX a, MATRIX b){
    MATRIX tmp;
    for(int i=0; i<2; i++){
        for(int j=0; j<2; j++){
            tmp.a[i][j] = ((a.a[i][0]*b.a[0][j])%mod + (a.a[i][1]*b.a[1][j])%mod)%mod;
        }
    }
    return tmp;
}

MATRIX fastPow(MATRIX m, int n){
    MATRIX res;
    for(int i=0; i<2; i++){
        res.a[i][0] = res.a[i][1] = 0;
        res.a[i][i] = 1;
    }
    while(n){
        if(n&1) res = mult(res, a);
        a = mult(a, a);
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

int head(int n){
    double t=-0.5*log10(5.0)+(double)n*log10((1+pow(5.0,0.5))/2);
    t=t-floor(t);  //获得小数部分
    double x=pow(10,t+3);  //还原
    return (int)floor(x);  //得到整数部分
}

int main(){
    init();
    while(~scanf("%d", &k)){
        if(k<40) printf("%d\n", f[k]);
        else{
            a.a[0][0] = 0;
            a.a[0][1] = a.a[1][0] = a.a[1][1] = 1;
            printf("%d...", head(k));
            ans = fastPow(a, k-1);
            printf("%04d\n", ans.a[1][1]);
        }
    }
    return 0;
}