《编程之美》买书问题及c语言代码实现

废话：

最近刚买了本书《编程之美》，首先看了下时间：2008.3。刚好是大二的时候，真希望回到那时，买一本《编程之美》，坐在宿舍，吃着热干面，编着代码。刹那间，有种相见恨晚的感觉，前一阵，也感觉自己浮夸的很，什么流行就看什么。是时候按下心来，好好享受下beauty of programming

本文来自：http://blog.csdn.net/lengzijian/article/details/7789222

问题：

某书店对《哈利波特》做促销活动，一共有5卷。假设每一卷的单独销售价格为8元，如果读者一次购买不同的两卷，就可以扣除5%的费用，三卷则更多，优惠如下：

本数	折扣
2	5%
3	10%
4	20%
5	25%

求出购买一批书的最低价格？

刚拿过题目第一感觉就是用贪心方法，不出所料书中最开始提到的就是贪心规则。首先看下10本数以内的折扣表：

本数	所有组合	折扣	节省的钱
2-5	2 3 4 5	0.1 0.3 0.8 1.25	0.8 2.4 6.4 10
6	5+1 4+2 3+3 2+2+2	1.25 0.9 0.6 0.3	10 7.2 4.8 2.4
7	5+2 4+3 3+2+2	1.35 1.1 0.5	10.8 8.8 4
8	5+3 4+4 3+3+2 2+2+2+2	1.55 1.6 0.7 0.4	12.4 12.8 5.6 3.2
9	5+4 5+2+2 4+3+2 3+3+3	2.05 1.45 1.2 0.9	16.4 11.6 9.6 7.2
10	5+5 4+4+2 4+3+3 2+2+2+2+2	2.5 1.7 1.4 0.5	20 13.5 11.2 4

这里不再讲解贪心算法，我想记录下动态规划法几个比较难理解的地方。

注：书中用的是最少花费，而我用的是最多节省钱数。之后可以通过表达式看出区别。

1.在书中，假设用Xn表示购买第n卷数的数量，那么购买所有书数量可以用(X1,X2,X3,X4,X5)表示，而F(X1,X2,X3,X4,X5)表示最多节省钱数。为了使书籍没有编号顺序，即(X1,X2,X3,X4,X5)和(X3,X2,X1,X4,X5)为一样的变量，书中使用的“最小表示”。Y1,Y2,Y3,Y4,Y5是X1,X2,X3,X4,X5的重新排列，满足Y1>=Y2>=Y3>=Y4>=Y5。在之后的所有阐述中，购买数的数量均以“最大满足”方法，放入变量。例如:

我要买8本书，那么变量的存储值为(2,2,2,1,1);

如果我要买10本书，那么变量存储值为(2,2,2,2,2)，为何不是(5,5,0,0,0)

以一种循环+1，最大满足所有变量的方式赋值，为什么如此？

个人拙见：

以10本书为例，当用(5,5,0,0,0)为变量时，会有5种(1+2)的方法(1+2：表示第一卷加上第二卷的组合方式)，而同样，当用(2,2,2,2,2)为变量时，可以有([1+2] ,[2+3] ,[3+4] ,[4+5] ,[5+1])共5种两两组合，即所有的组合方式都是“做大满足”方法的子集，都可以用“做大满足”方法模拟其他变量存储方式。

2.假定要买的书为(Y1,Y2,Y3,Y4,Y5),如果第一次考虑为5本不同卷付钱(Y5>=1)，那么剩下数的集合为(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5-1);但是如果要为4本不同卷付钱，剩下几何应该有如下种：

(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5);

(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4,Y5-1);

(Y1-1,Y2-1,Y3,Y4-1,Y5-1);

(Y1-1,Y2,Y3-1,Y4-1,Y5-1);

(Y1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5-1);

我们该如何选择然后继续分析下去呢？

举例说明：

假设Y1=Y2=Y3=Y4=Y5=2.

选择(1,1,1,1,0),剩下(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5)的组合为(1,1,1,1,2)，剩下的书为{1,2,3,4,5,5};

选择(1,1,1,0,1),剩下(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4,Y5-1)的组合为(1,1,1,2,1)，剩下的书为{1,2,3,4,4,5};

由于Y4>=Y5>Y5-1，后者方案中，总会有一种方案里只有4卷而没有5卷，完全可以把只有4没有5的组合，换成5卷。例如：

{1,2,3,4}{4,5}->{1,2,3,5}{4,5}

对于任何(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4,Y5-1)的最优解，都能转化为(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5)的解。

有了上面两个依据，就可以写出推导公式：

因为我求的是最大节约钱数，所以跟书上有一点不同

F(Y1,Y2,Y3,Y4,Y5)

if(Y1=Y2=Y3=Y4=Y5=0)

return 0;

return max(

5*8*25% + F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5-1) (Y5 >=1),

4*8*20% + F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5) (Y4>=1),

3*8*10% + F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4,Y5) (Y3 >=1),

2*8*5% + F(Y1-1,Y2-1,Y3,Y4,Y5) (Y2 >=1),

1*8*0% + F(Y1-1,Y2,Y3,Y4,Y5) (Y1 >=1)

)

记得要转化成对应的最小表示(书上很清楚，这里就不赘述了)：

F(1,2,2,2,2)----------转化-----------> F(2,2,2,2,1)

下面是我实现的c语言版本：

#include //折扣信息(逆序) //个人不喜欢float，所以在结果后除以100就可以了 int change[5] = {25,20,10,5,0}; //求数组中最大的值 //用于取出做大节约钱数 int max_index(int a[5]){ int max=0; int i; for(i=0;i<5;i++){ if(max < a[i]) max = a[i]; } return max; } //冒泡排序 //用于转化最小表示(1,2,2,2,2)->(2,2,2,2,1) void bubble(int *a,int n) { int i,j,temp; for(i=0;i= 1){ for(k=0;k<5;k++){ buf[k] = a[k]; } //减一 for(j=0;j<=5-i;j++) buf[j] = buf[j]-1; //继续递归 cash[i-1] = (5-i+1)*8*change[i-1]+func(buf); } } //返回最大值 return max_index(cash); } int main(){ //a数组用于表示所选的方案2,2,2,2,2表示选10本书 //这里之前讲过，为什么要这么做了。。 //读者也可以自己写“最大满足”的函数 int a[5] = {2,2,2,2,2}; float result =0; result = func(a); printf("result %2.2f\n",result/100); }

查看运行结果：

当为10本书时：int a[5] = {2,2,2,2,2};

result 20.00

当为8本书时：int a[5] = {2,2,2,1,1};

result 12.80

与之前表里里面的数据一模一样，安心了(话说，调试递归什么的最讨厌了)。